第一章-極限與函數

1. 函數的概念
   1. 函數: 設變量x的取值范圍為D, 若對任意的x € D, 按照某種對應關系總有唯一確定的的值y與x對應,稱y為x的函數, 記為y=f(x), 其中D稱為函數y=f(x)的定義域.
      1. 定義域: 使表達式及實際問題都有意義的自變量集合
      2. 對應規律的表示方法: 解析法, 圖像法, 列表法
   2. 復合函數: 設u = φ(x)(x€D₁), y=f(u)(u€D₂), 且對任意的x € D₁,有φ(x) € D₂, 稱y為x的復合函數, 記為y=f[φ(x)].
   3. 設y=f(x)(x € D)為單調函數, 其值域為R, 對任意的y € R, 有唯一確定的x € D與之對應, 稱x為y的反函數, 記為x=f^-1(y)
      1. 性質: 
         1. y = f(x)單調遞增(減), 其反函數y = f^-1(x)存在且也單調遞增(減)
         2. 函數y=f(x)與其反函數y=f^-1(x)的圖形關於直線y=x對稱
2. 基本初等函數
   1. x^a
   2. a^x (a>0, a≠1)
   3. log_a^x (a>0, a≠1)
   4. sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx
   5. arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx
3. 初等函數
   1. 由常數及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而稱的式子構成的函數稱為初等函數
4. 函數的初等特性
   1. 有界性: 設y=f(x)(x€D),若存在M>0, 對任意的x€D, 總有| f(x) | ≤ M, 稱函數f(x)再D上有界
      1. 若存在常數M₁, 對任意的x€D, 有f(x)≥M₁, 稱f(x)在D上有下界;若存在常數M₂, 對任意的x € D, 有f(x)≤M₂, 稱f(x)在D上有上界
      2. 若| f(x) | ≤ 2, 則f(x)≥-2且f(x)≤2, 即若f(x)有界, 則f(x)既有下界又有上界, 反之, 若f(x)≥2, 則f(x)≥-2. 且f(x)≤4, 則 | f(x) | ≤4, 既有下界又有上界, 則有f(x)有界, 故f(x)有界的充分比u葯條件時f(x)既有下界又有上界
5. 單調性
   1. 設y=f(x)(x€D), 若對任意的的X₁, x₂€D且, x₁ < x₂, 總有f(x₁)< f(x₂), 稱y=f(x)在D上單調增加; 若對任意的x₁, x₂€ D且x₁ < x₂, 總有f(x₁) > f(x₂), 稱y = f(x)在D上單調遞減
6. 周期性
   1. 設y=f(x)(x€D), 若存在T>0, 對任意的x€D, x+T € D, 有f(x+T)=f(x), 稱y=f(x)為周期函數, T稱為y=f(x)的周期
7. 特殊函數
   1. 符號函數
      1. 稱sgnx = {-1, (x < 0),  0, (x = 0), 1, (x >0)}為符號函數, 顯示| x | = xsgnx
   2. 狄利克雷函數
      1. 稱D(x) = {(1, x € Q), (0, x € R\Q)}為狄利克雷函數
   3. 取整函數
      1. 稱 y= [x]為取整函數, 其函數值為x左側做大的整數, 若x為整數, 則函數值即為x.
8. 極限的定義
   1. 數列的定義: 函數f(x)定義域為全體正整數的集合N⁺, 為數列, , 因為正整數集N⁺可以按從小到大的順序排列, 故數列f(n)也可寫作: a¹, a², a³,...aⁿ...
   2. 數列極限的定義: 若對於任意的ξ > 0, 存在N>0時, 有n > N時, 有| a_n -A | < ξ, 稱A為數列{a_n}的極限, 記為lima_n = A(n->∞)
   3. 函數自變量趨於有限值的極限定義(ε - δ): 若對於任意的的ε  > 0, 存在δ>0, 當0<| x-a | < δ時, 有| f(x) -A | < ε, 稱A為f(x)當x -> a時的極限, 記為limf(x) = A(x -> a)
   4. 函數自變量趨於無窮大的極限定義(ε - X): 
      1. 若對任意的ε > 0, 當x > X時, 有| f(x) - A | < ε, 稱A為f(x)當x -> +∞的極限, 記為limf(x) = A(x -> a)
      2. 若對於任意的ε > 0, 存在X > 0, 當x < -X時, 有| f(x) -A | < ε, 稱A為f(x)當x -> -∞的極限, 記為limf(x) = A(x -> -∞)
      3. 若對於任意的ε > 0, 存在X >0, 當| x | > X, 有| f(x) -A |< ε, 稱A為f(x)當x-> ∞的極限, 記為limf(x) = A (x-> ∞)
9. 集合
   1. 具有某種特定性質的事物的總體稱為集合, 組成集合的事物稱為元素, 不含任何元素的集合稱為空集
   2. 注: M^*表示集合M中排除0耳朵集, M⁺表示集合M中排除0與負數的集
10. 收斂數列的性質
    1. 收斂數列的極限唯一.
    2. 收斂數列的極限一定有界
    3. 收斂數列的保號性
    4. 收斂數列的任一子數列收斂於同一極限
11. 夾逼准則
    1. 見書
12. 無窮小
    1. 定義: 若 x -> x₀時, 函數f(x) -> 0, 則稱函數f(x)為x -> x₀時的無窮小
    2. 說明: 除0以外, 任何很小的常數都不是無窮小.
    3. 定理: 無窮小余函數極限的關系,當函數的在某個值時極限趨於A, 則就可以得出f(x) = A + α, 其中α為 x -> x₀時的無窮小量
13. 無窮大
    1. 定義: 若任給M > 0, 總存在δ >0(正數X), 使對一切滿足不等式 0<| x - x₀ | < δ(| x | > X)的x總有 | f(x) | > M, 則稱函數f(x)當x -> x₀(x -> ∞)時為無窮大, 記作f(x)的極限 = ∞(當x - > x₀)
    2. 注意: 
       1. 無窮大不是很大的數, 他是描述函數的一種狀態
       2. 函數為無窮大, 必定無界, 但反之不真!
14. 無窮小的運算法則
    1. 定理1: 有限個無窮小的和還是無窮小
       1. 拓展: 有限個無窮小之和仍為無窮小
       2. 說明: 無限個無窮小之和不一定時無窮小
    2. 定理2: 有界函數與無窮小的乘積是無窮小
       1. 推論1: 常數與無窮小的乘積是無窮小
       2. 推論2: 有限個無窮小的乘積是無窮小
    3. 定理3: 函數極限的和等和的極限
    4. 定理4: 函數積的極限等於函數極限的積
       1. 說明: 定理4可推廣到有限個函數相乘的情形
       2. 推論1: 常數*函數的極限=函數的極限*常數
       3. 推論2: 函數極限的n次冪=函數極限的n次冪
    5. 定理5: 函數上的極限=函數極限的商(分母≠0)
15. 函數極限與數列極限關系的應用
    1. 利用數列極限判斷函數極限不存在
       1. 法一: 找一個數列{x_n}: x_n≠ x₀, 且xn -> x₀ (n -> ∞), 使lim(x->∞)f(x_n)不存在
       2. 法二: 找兩個趨於x₀的不同數列{x_n}及{x_n’},使lim{n - > ∞}f(x_n)≠lim(n-> ∞)f(x_n’)
    2. 數列極限存在的夾逼准則===> 函數極限存在的夾逼准則
16. 兩個重要的極限
    1. lim(x-> 0)sinx / x = 1
    2. lim (x -> ∞)(1+ 1/x)^x = e   lim(x - > 0)(1+x)^1/x=e
17. 定義. 設α, β使自變量同一變化過程中的無窮小, 若limβ/α,則稱β是α高階無窮小,
    1. 若limβ/α=0, 則稱β是比α高階無窮小記作β=o(α), β趨於無窮小的速度高於α
    2. 若limβ/α=∞, 則稱β是比α低階的無窮小   β趨於無窮小的速度小於α
    3. 若limβ/α = C≠0, 則稱β是α的同階無窮小
    4. 若limβ/α =1, 則稱β是α的等價無窮小
18. 定理
    1. 定理1: α ~ β  ↔ β = α + o(α)
    2. 定理2: 設α ~ α', β ~ β', 且limβ'/β存在, 則 limβ/α = limβ'/α'
    3. 說明: 設對同一變化過程中, α, β為無窮小, 由等價無窮小的性質,可簡化得某些極限運算的下述規則
       1. 和差取最大規則: 若β = o(α), 則α±β ~ α
       2. 和差代替規則: 若a ~ a', β ~ β'且β與α不等價, 則α - β ~ α' - β',且limα - β/γ = limα' - β'/γ, 但α ~ β時此結論未必成立
       3. 因式代替規則: 若α ~ β, 且φ(x)極限存在或有界, 則 limαφ(x) = limβφ(x)
19. 無窮小的比較, 設α, β對同一自變量的變化過程為無窮小, 且α≠0, (無窮大量不具備無窮小量的運算性質)
    1. limβ/α = 0, β是α的高階無窮小
    2. limβ/α = ∞, β是α的低階無窮小
    3. limβ/α = C,  β是α同階無窮小
    4. limβ/α = 1, β是α的等價無窮小
    5. limβ/α^k = C ≠, β是α的K階無窮小
20. 常用等價無窮小: 當x -> 0
    1. sinx ~ x,
    2. tanx~ x,
    3. (1+x)1/n -1 ~ 1/nx 
    4. e^x - 1 ~ x 
    5. ln(1+x) ~ x
    6. arcsinx ~ x
    7. arctanx ~ x
    8. e^x -1 ~ x
    9. ln(1+x) ~ x
    10. 1 - cosx ~ 1/2x²
    11. lim(φ(x) -> ∞)(1+1/φ(x))^φ(x) = e
21. 極限的重要公式
    1. lim(n->∞)(1+1/n)ⁿ = eⁿ
    2. lim(x->0)sinx/x = 1
    3. lim(x -> ∞)(1+1/x) = e
    4. lim(z->0)(1+ z)^1/z = e
22. 連續性
    1. 定義1:設函數y=f(x)在x₀的某鄰域內有定義, 如果lim(x->x₀)f(x)存在, 且lim(x->x₀)f(x) = f(x₀), 則稱函數f(x)在x₀處連續, 可見, 函數f(x)在點x0連續, 必須具備下列條件:
       1. f(x)在點x₀處有定義, 即f(x₀)存在
       2. 極限lim(x->x₀)f(x)存在
       3. lim(x->x₀)f(x) = f(x₀)
       4. 連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線
    2. 若f(x)在某區間上每一點都連續, 則稱他在該區間上連續, 或稱它在該區間上的連續函數, 在閉區間[a, b]上的連續函數的集合記作C[a, b], 對自變量的增量Δx = x - x₀, 有函數的增量 Δy = f(x) - f(x₀)
23. 函數的間斷點
    
    1. 設f(x)在點x₀的某去心鄰域內有定義, 則下列情形之一函數f(x)在點x₀不連續
       1. 函數f(x)在x₀無定義;
       2. 函數f(x)在x₀雖有定義 但limx->x₀f(x)不存在
       3. 函數f(x)在x₀雖有定義, 且lim(x->x₀)f(x)不存在
       4. 函數f(x)在x₀雖有定義, 且lim(x->x₀)f(x)存在, 但lim(x->x₀) f(x) ≠ f(x₀), 這樣的點x₀, 成為間斷點
    2. 間斷點分類:
       1. 第一類間斷點:
          1. f(x₀^-)及f(x₀⁺)均存在
             1. 若f(x₀^-)=f(x₀⁺),稱x₀位可去間斷點
             2. 若f(x₀^-)=f(x₀⁺), 稱x₀為跳躍間斷點
       2. 第二類間斷點:
          1. f(x₀^-)及f(x₀⁺)中至少一個不存在
             1. 若其中一個為∞, 稱x₀位無窮間斷點
             2. 若其中一個為振盪,稱x₀為振盪間斷點
24. 連續函數的運算法則
    1. 定理1: 在某點連續的有限個函數經有限次和, 差, 積, 商(分母不為0)運算, 結果仍是一個在該點連續的函數
    2. 定理2: 連續單調遞增(遞減)函數的反函數也連續單調遞增(遞減)
    3. 定理3: 連續函數的復合函數是連續的
25. 初等函數的連續性
    1. 基本初等函數在定義區間內連續
    2. 連續函數經四則運算仍連續
    3. 連續函數的復合函數連續
    4. ps: 一切初等函數在定義區間內連續
26. 初等函數內容小結:
    1. 基本初等哈數在定義區間內連續
    2. 連續函數的四則運算的結果連續
    3. 連續函數的反函數連續
    4. 連續函數的復合函數連續
    5. 說明: 分段函數在界點處是否連續需討論其左右連續性
27. 補充公式
    1. nlog_aN = log_aNⁿ
28. 閉區間上連續函數的性質
    1. 定理1: 在閉區間上連續的函數在該區間上一定有最大值和最小值. 即: 設f(x)€C[a,b]
       1. 注意: 若函數在開區間上連續,或在閉區間內有間斷點, 結論不一定成立
       2. 推論: 在閉區間上連續的函數在該區間上有界
    2. 定理2(零點定理): f(x)€ C[a,b], 且f(a)f(b)<0==>至少有一點ξ€(a,b), 使f(ξ)=0
    3. 定理3(介值定理): 設f(x)€ C[a,b], 且f(a) =A, f(b) = B, A≠B, 則對A與B之間的任一數C,至少有一點ξ€(a,b), 使f(ξ) = C