目錄如下：
1. 推導一維桿的熱傳導方程：從微分及積分角度分別進行了推導
2. 初值和邊界條件：初值是與時間相關、邊值與空間相關
3. 二維及三維熱傳導方程推導：從積分角度推導，得到泊松方程和拉普拉斯方程
4. 拉普拉斯算子的各種形式：在直角坐標系、柱坐標系和球坐標系下推導拉普拉斯算子形式
偏微分方程（PDE）就是指含有偏導數的數學方程。
本書從物理問題開始研究偏微分方程，便於讀者與實際結合。首先講解的是熱傳導方程：
1. 推導一維桿的熱傳導方程
講解了兩種方式：微分的觀念，從一個小的薄片的能量守恆推導，通過取極限的方式得到熱傳導方程
另外一種，從積分角度考慮，利用積分基本定理，這種方式更加精確，避免了極限過程的近似計算。
2. 初值和邊界條件：
關於時間變量的稱為初值條件，是時間變量的幾階導數就要幾個初值條件。
關於空間變量的稱為邊界條件。
邊界條件有三類：
給定溫度
給定溫度變化率 
給定溫度溫度變化率與分布的函數關系
3. 二維及三維熱傳導方程推導
從積分角度進行推導，根據能量守恆
根據高斯定理，把曲面積分轉換為三重積分，整理上式得到：（注意把時間作為偏導數放入積分中）
因此：
又根據傅里葉導熱定律：
穩態：如果邊界條件和熱源都與時間無關，在恆定熱性質的情形，平衡溫度分布將滿足：
該方程稱為
泊松方程。
如果熱源不存在，泊松方程變為：
即溫度分布的拉普拉斯算子是零，因此稱為
拉普拉斯方程。
二維方程的推導與三維一致，只是使用面積分代替體積分，使用格林公式代替高斯公式。
4. 拉普拉斯算子的各種形式
在直角坐標系下：
在柱面坐標系下有：
下面證明在柱面坐標系下的拉普拉斯公式：
考慮二維下的柱面坐標，即極坐標：
可以證明：
利用鏈式法則：
以上可以得到
柱坐標下的拉普拉斯算子公式：
在這個公式中，需要注意的是：在拉普拉斯算子中的每一項都有u的量綱被兩個空間量綱除。因為角度是用弧度測量的，沒有
量綱，因此，對角度的微分需要除以半徑的平方。
通過以上思路可以證明
球坐標的公式：
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