對數幾率回歸（邏輯回歸）原理與Python實現

目錄

• 一、對數幾率和對數幾率回歸
• 二、Sigmoid函數
• 三、極大似然法
• 四、梯度下降法
• 四、Python實現

一、對數幾率和對數幾率回歸

  在對數幾率回歸中，我們將樣本的模型輸出\(y^*\)定義為樣本為正例的概率，將\(\frac{y^*}{1-y^*}\)定義為幾率（odds），幾率表示的是樣本作為正例的相對可能性。將幾率取對便可以得到對數幾率（log odds，logit）。

\[logit=\log\frac{y^*}{1-y^*} \]

  而對數幾率回歸（Logistic Regression）則試圖從樣本集中學得模型\(w^Tx\)並使其逼近該樣本的對數幾率，從而可以得到：

\[condition1:w^Tx=\log\frac{y^*}{1-y^*} \]

二、Sigmoid函數

  通過求解\(conditoin1\)可以得到：

\[y^*=\frac{e^{w^Tx}}{1+e^{w^Tx}}=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}} \]

  由此我們可以知道樣本\(x_i\)為正例的概率可以通過函數\(h(w^Tx_i)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx_i}}\)來表示。而其中的函數\(h(z)\)便被稱為Sigmoid函數，其圖像如下：

  求其導數：

\[h'(z)=\frac{-e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})=h(z)(1-h(z)) \]

這是一個很好的性質，有利於簡化后面優化模型時的計算。

三、極大似然法

  通過前面的推導，可以得到：

\[P(y=1|x)=y^*=h(w^Tx)\,\,\,\,\,\,\,\,P(y=0|x)=1-y^*=1-h(w^Tx) \]

合並兩個式子，則有：

\[P(y|x)=h(w^Tx)^y(1-h(w^Tx))^{1-y} \]

  求出了樣本標記的分布律，便可以通過極大似然法來估計分布律中的參數\(w\)。先寫出極大似然函數：

\[L(y_i|x_i,w)=\prod^{m}_{i=1}h(w^Tx_i)^{y_i}(1-h(w^Tx_i))^{1-{y_i}} \]

  對極大似然函數取對可以得到對數似然函數：

\[l(y_i|x_i,w)=log(L)=\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))} \]

  在前面乘上負數因子便可以得到對數幾率回歸的代價函數：

\[J(w)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))} \]

通過最小化上述代價函數便可以估計出參數\(w\)的值。

四、梯度下降法

  通過上述步驟，優化對數幾率回歸模型的關鍵變成了求解：

\[w=\arg\min J(w)=\arg\min -\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i\log h(w^Tx_i)+(1-y_i)log(1-h(w^Tx_i)))} \]

  在《線性回歸：梯度下降法優化》中，我已經詳細介紹了梯度下降法的數學原理，這里直接使用梯度下降法來對對數幾率回歸模型進行優化。
  對\(J(w)\)進行求導：

\[\frac{\partial J}{\partial w}=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}(y_i(1-h(w^Tx_i))x_i+(y_i-1)h(w^Tx_i)x_i)=-\frac{1}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i} \]

  將\(\frac{\partial J}{\partial w}\)帶入參數\(w\)的更新公式\(w^*=w-\eta\frac{\partial J}{\partial w}\)，最終得到\(w\)的更新公式如下：

\[w^*=w+\frac{\eta}{m}\sum^{m}_{i=1}{(y_i-h(w^Tx_i))x_i} \]

四、Python實現

  梯度下降優化算法：

    def fit(self, X, y):
        self.W = np.zeros(X.shape[1] + 1)
        for i in range(self.max_iter):
            delta = self._activation(self._linear_func(X)) - y
            self.W[0] -= self.eta * delta.sum()
            self.W[1:] -= self.eta * (delta @ X)
        return self

  導入鳶尾花數據集進行測試：

if __name__ == "__main__":
    from sklearn import datasets
    from sklearn.model_selection import train_test_split
    from sklearn.metrics import classification_report

    irirs = datasets.load_iris()
    X = irirs["data"][:100]
    y = irirs["target"][:100]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, train_size=0.7, test_size=0.3)
    classifier = LRClassifier().fit(X_train, y_train)
    y_pred = classifier.predict(X_test)
    print(classification_report(y_test, y_pred))

  分類報告如下：