鱉臑還原長方體

前言

鱉臑(bi\(\bar{e}\)n\(\grave{a}\)o)是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼。在涉及鱉臑的命題中常常需要將其還原為長方體。

如圖所示，三棱錐 \(A-BCD\) 是一個鱉臑，其中\(\triangle ABC\)、\(\triangle ABD\)、\(\triangle BCD\)、\(\triangle ACD\)都是\(Rt\triangle\)，\(\angle ABC\)、\(\angle ABD\)、\(\angle DCB\)、\(\angle DCA\)都是直角，其中的三條關鍵線段\(AB\)、\(BC\)、\(CD\)[圖中的紅色部分線段]兩兩垂直[或相交垂直就，或異面垂直]；

還原過程

作圖方法：在平面\(ABC\)內，過點\(A\)做直線\(AE//BC\)，過點\(C\)做直線\(CE//BA\)，與\(AE\)相交於點\(E\)，

在平面\(BCD\)內，過點\(D\)做直線\(DH//CB\)，過點\(B\)做直線\(BH//CD\)，與\(DH\)相交於點\(H\)，

過點 \(D\) 做 \(DF//CE\)，過點 \(E\) 做 \(EF//CD\) 交直線 \(DF\) 於點 \(F\)，

過點 \(H\) 做 \(HG//AB\)，過點 \(A\) 做 \(AG//BH\) 交直線 \(HG\) 於點 \(G\)，聯結\(GF\)，

則得到的六面體\(BHDC-AGFE\)為長方體；其中線段 \(AD\) 為其體對角線；

此時如果做長方體的外接球，則線段 \(AD\) 為外接球的直徑；

典例剖析

【2021屆高三文科數學月考四第8題】鱉臑(bi\(\bar{e}\)n\(\grave{a}\)o)是我國古代對四個面均為直角三角形的三棱錐的稱呼。已知三棱錐 \(A-BCD\) 是一個鱉臑，其中\(AB\perp BC\)，\(AB\perp BD\)，\(BC\perp CD\)，且\(AB=6\)，\(BC=3\)，\(DC=2\)，則三棱錐\(A-BCD\)的外接球的體積是【\(\quad\)】

$A.\cfrac{49\pi}{3}$ $B.\cfrac{343\pi}{2}$ $C.49\pi$ $D.\cfrac{343\pi}{6}$

解析：由\(AB\perp BC\)，\(AB\perp BD\)，且\(BC\cap BD=B\)，可得 \(AB\perp\) 平面 \(BCD\)，

則 \(AB\perp CD\)，又\(BC\perp CD\)， 且 \(AB\cap BC=B\)， 故 \(CD\perp AC\)，

則 \(AD\) 為三棱錐\(A-BCD\)的外接球直徑，[具體還原過程參照上述過程]；

由於 \(AB=6\)， \(BC=3\)， \(DC=2\)， 故\(AD=\sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}}=7\)，

則三棱錐 \(A-BCD\) 的外接球的半徑為\(R=\cfrac{7}{2}\).

故三棱錐 \(A-BCD\) 的外接球的體積\(V=\cfrac{4}{3}\pi R^3=\cfrac{4}{3}\pi (\cfrac{7}{2})^3=\cfrac{343\pi}{6}\)，故選\(D\).