一文搞懂代數幾何發展史（一）
編者按
按照俄國數學家沙法列維奇的觀點，代數幾何在20世紀現代數學的發展歷史中占據着一個相對中心的位置。抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析學中的許多重要理論都是因代數幾何研究的需要而提出的。我們不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特別是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。
本文作者陳躍，原文題目《什么是代數幾何》，因文章長度限制將文章分成兩部分：
第1部分《一文搞懂代數幾何發展史（一）》為20世紀早期及以前的很長一段時間內數學家們對代數簇的深入研究；
第2部分《一文搞懂代數幾何發展史（二）》講述從將抽象代數方法引入代數幾何到概形理論的創立這一時期的發現情況。
歡迎品鑒，一文搞懂代數幾何發展史。
按照俄國數學家沙法列維奇的觀點，代數幾何在20世紀現代數學的發展歷史中占據着一個相對中心的位置。抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析學中的許多重要理論都是因代數幾何研究的需要而提出的。在大多數20世紀基礎數學重大進步（例如獲得菲爾茨獎和沃爾夫獎的工作）的背后，總能看到代數幾何的影子。例如獲得沃爾夫獎的陳省身與丘成桐兩位先生最重要的工作就與代數幾何密切相關：陳（省身）示性類被深刻地推廣與運用到代數幾何中，而著名的卡拉比-丘（成桐）流形則是目前代數幾何中最熱門的研究對象之一。本文將簡要回顧代數幾何的發展歷史，從中可以幫助我們了解這個頗為神奇的數學分支學科。
一、在19世紀之前的探索
簡單來說，代數幾何的主要研究對象是“代數簇”(algebraic variety)，最簡單的代數簇(也稱為仿射代數簇)是一組多元多項式的零點集合。對代數簇的研究實際上從古代希臘就開始了，兩千年前的古希臘數學家們所熟悉的直線、圓、圓錐曲線、三次曲線等代數曲線和平面、球面、柱面和二次曲面等代數曲面都屬於只用一個多項式來確定的代數簇。在沒有直角坐標系的條件下，阿波羅尼烏斯(Apollonius)運用在今天看來很笨拙的綜合幾何方法對圓錐曲線作了十分詳盡的研究，發現了它的許多性質。到了近代法國數學家笛卡爾(Descartes)和費馬(Fermat)能夠用解析幾何方法來研究任意代數曲線方程的時候，事情就發生了質的飛躍。古代希臘數學家由於沒有代數工具，他們只能局限於研究低次代數方程所表示的曲線或曲面，而有了解析幾何之后，在理論上就可以討論任意次數的代數曲線或曲面，從而就可以把所有的幾何問題都轉化為代數問題來解決。費馬還證明了所有非退化的二次曲線都是圓錐曲線。微積分的發明者之一、數學家牛頓對三次平面曲線進行了初步的分類(共有72種)，而歐拉(Euler)則對所有的二次曲面進行了分類。
圖1：笛卡爾
在17世紀時，德沙格(Desargues)通過研究畫家的透視方法而形成了射影對應的概念，他還引進了無窮遠點的概念。在普通的歐氏平面和空間中加入了無窮遠點后，就得到了緊致的射影平面和射影空間，它們是許多經典代數簇所在的空間。另一方面，歐拉的虛數概念的引入也完成了代數方面的“封閉化”，由此可以簡化數學命題的敘述。例如在射影平面中，非退化的二次曲線只有一種(在普通歐氏平面中要分為橢圓、雙曲線和拋物線這三種曲線)，並且三次曲線不是牛頓所分的72種，而是只有三種曲線。
圖2：牛頓
牛頓和萊布尼茨(Leibniz)還用所謂的“消去法”得到了確定兩條代數曲線相交點的方程組(即大學高等代數課本中的“結式”方程組)。在此基礎上，數學家貝祖(Bézout)證明了著名的貝祖定理：設C和C’是次數分別為m和n的平面射影復曲線，則C和C’相交於mn個點(計入重數)。例如從表面上看，復射影平面內的一條直線與一條拋物線的相交情形一共有四種：交於兩點、交於一點、相切與無交點。但其實直線與拋物線交於一點時，它們還相交於拋物線上的無窮遠點，而相切可以理解成它們相交於兩個重合在一起的點，至於不相交的情形，則可以看成是它們相交於復平面上的兩個被稱為“圓點”的虛的無窮遠點。這樣，一次的直線與二次的拋物線在復射影平面上總有1×2＝2個交點。又如一個橢圓與一條三次曲線總是相交於2×3＝6個交點等等。貝祖定理實際上是代數幾何中一個重要小分支——相交理論的起點。
圖3 萊布尼茨
二、19世紀對代數簇的初步研究
到了19世紀上半葉的射影幾何理論正式登場后，才初步形成了一些關於復代數曲線與復代數簇的代數幾何定理。以法國數學家龐斯列(Poncelet)為代表的一批數學家建立了射影幾何的系統理論，總結和整理了大量的射影幾何命題和方法，特別是射影變換的理論。例如可以將圓錐曲線看成是兩個相互射影對應線束的對應直線的交點軌跡等。在射影幾何里還有一些涉及到計數幾何(enumerative geometry)的定理，例如可以證明每個三次代數曲面上都有27條直線、每條非退化四次平面代數曲線都有28條與曲線同時相切兩次的雙切線、與5條已知圓錐曲線都相切的圓錐曲線一共有3264條等結論。
黎曼是19世紀最偉大的數學家。他在研究阿貝爾積分理論的過程中提出了內蘊的“黎曼面”的概念和黎曼面上代數函數的理論。阿貝爾積分是復變函數論中與復代數曲線緊密相關的一種復積分，它來源於微積分中更早的“橢圓積分”，而研究橢圓積分的最初目的則是為了計算橢圓的周長(我們在微積分里已經知道，類似於求橢圓周長的這種定積分是沒有原函數的，它們只能通過近似計算的方法來求出定積分的值)。現在在復平面內，如果f(x,y)是一個二元復多項式，那么f(x,y)＝0就定義了一條復代數曲線，注意在這里可以取復數值的x和y都是實2維的復變量，因此復平面就可以看成是實4維空間，而相當於兩個實數等式的復數等式f(x,y)＝0實際上又確定了兩個4維空間中的曲面，由於每增加一個實數等式就相當於減少一個幾何維數，於是復代數曲線f(x,y)＝0實際上就是一個4－2＝2維的實曲面。這樣，每一條復代數曲線都對應了一個抽象的被稱為黎曼面的幾何對象。黎曼的初始目標是對黎曼面上所有的阿貝爾積分進行分類，由此出發他得到了一系列刻畫黎曼面性質的重要定理。由黎曼面與代數曲線的對應關系可知，他實際上是得到了不少關於代數曲線理論的重要成果，因此我們可以講，是黎曼首創了用分析來研究代數曲線的方法。
圖4 黎曼
黎曼首次發現了“虧格”這一現代幾何的基本概念(對應了幾何對象上“洞”的個數)，並提出了代數幾何中最基本的雙有理變換的思想。雙有理變換是一種比射影變換更加寬泛的變換，它能夠保持代數曲線的虧格不變，並且此時兩條代數曲線上的有理函數域一定是同構的。注意到有理函數域是一個代數對象，因此這實際上就是建立了幾何與代數之間的初步聯系。從黎曼的時代到現在，從某種程度上說，整個代數幾何主要就是在研究一般代數簇的雙有理分類問題。黎曼和他的學生羅赫一起還發現了著名的(代數曲線上的)黎曼-羅赫定理，這個定理反映了代數曲線上的由全體有理函數組成的線性空間的性質是如何受到虧格這一幾何不變量控制的。這個深刻定理后來在20世紀被推廣到了高維代數簇的情形，並直接導致了著名的阿蒂亞-辛格指標定理的發現。
黎曼在1854年的著名演講中所給出n維黎曼流形的初步概念，不僅僅是為了研究物理學意義上幾何空間的需要，其實也是在為探索一般的高維代數簇性質所做的准備工作。黎曼在歷史上第一次發現，在一般的高維微分流形上也可以設置任意的度量。他經過推算發現了刻畫黎曼流形局部幾何性質的主要不變量——黎曼曲率張量。這些張量實際上成為了現代整體微分幾何發展的起點，並且最終都會通過某種形式進入到了代數幾何的理論中。更令人難以置信的是，黎曼在研究數論時所提出的大名鼎鼎“黎曼猜想”，后來竟也變成了推動代數幾何發展的強大動力！所謂的黎曼猜想是說：復變函數黎曼函數的全部復零點的實部都等於。黎曼猜想是一個內涵極其豐富的猜想，它應該是現代數學中還沒有被證明的最重要的猜想。
代數數論的研究其實也是推動代數幾何理論發展的另一個重要來源。為了研究代數數域的需要，19世紀的德國數學家克羅內克(Kronecker)和戴德金(Dedekind)等人引入理想、賦值和除子等基本概念。以這些數學家為代表的“代數學派”的工作目標是設法對黎曼用分析方法給出的結果試圖作出純代數的證明，毋庸置疑，這對代數幾何這門學科的性質來講是至關重要的。與此同時，以馬克斯·諾特(Max Noether)和克萊布施(Clebsch)為代表的“幾何學派”繼續從經典射影幾何的角度研究復代數曲線，他們發現了平面曲線奇點解消的“脹開”(blow up)方法。
三、19世紀末到20世紀早期對代數簇的深入研究
從19世紀末期開始，代數幾何的發展進入了一個新的歷史階段。以皮卡(Picard)和龐加萊(Poincaré)為代表“分析學派”試圖將黎曼的復代數曲線理論推廣到復代數曲面上。雖然這里的(復的)維數僅僅增加了一維，但是與代數曲線的情形完全不同，研究代數曲面需要克服許多困難，難度極大。例如在復三維的空間中，如果g(x,y.z)是一個三元復多項式，那么g(x,y.z)＝0就是一個復代數曲面。與復代數曲線類似，g(x,y.z)＝0實際上確定了實6維空間中的一個6－2＝4維的實微分流形。
在研究代數曲面的過程中，非常需要了解高維流形的拓撲性質。法國數學家龐加萊為此首創了代數拓撲的同調(homology)理論。為了弄清楚黎曼所說的高維“貝蒂(Betti)數”到底是什么，龐加萊開始建立單純復形的同調理論，以便能夠嚴格地證明黎曼的直觀猜想。他從1895開始，寫出了著名的關於同調理論的一系列文章。其大致的想法是，先將代數簇進行三角剖分后得到一系列單純形，然后就能夠以此構造出單純同調群(其實也是線性空間)，這樣，每個貝蒂數就分別是這些線性空間的維數，它們都是拓撲不變量，可以用來刻畫代數簇的幾何性質。接着萊夫謝茨(Lefchetz)在20世紀初期進一步用這個同調理論開始研究復代數曲面的拓撲性質，得到了許多深刻的定理。
圖5 龐加萊
對於代數曲面理論研究的最主要的貢獻還是來自於著名的“意大利學派”。這個學派的三個主要代表人物是卡斯泰爾諾沃(Castelnuovo)、恩里奎斯(Enriques)和塞維里(Severi)，他們在20世紀初期用天才的幾何直覺和高超的幾何技巧，綜合運用包括分析與拓撲方法在內的各種方法創造了復代數曲面的一個非常深刻的理論，包括代數曲面的奇點解消、除子與線性系的經典理論、代數曲面的黎曼-羅赫定理的初步形式以及代數曲面的模空間等等。例如他們用一組平面去截割一個代數曲面，在所得的代數曲線上再運用黎曼的代數曲線理論的結果，從中得到了關於代數曲面的一些重要結果。與代數曲線只有單一的不變量虧格不同，刻畫代數曲面除了幾何虧格以外，還需要算術虧格等其他好幾個不變量。
但同時意大利學派的工作也有一個致命的缺陷，那就是缺少一個統一的邏輯基礎，一些證明要依賴於數學家心目中某種神秘的幾何直觀，因而缺乏嚴密性。和數學史上常見的情形一樣，這種邏輯基礎不穩的狀況對於視嚴格為生命的數學家們來說是一件特別糾結的事，它嚴重阻礙了代數幾何的向前發展。
下一篇我們介紹《一文搞懂代數幾何發展史（二）》，敬請期待。
一文搞懂代數幾何發展史（二）
編者按
按照俄國數學家沙法列維奇的觀點，代數幾何在20世紀現代數學的發展歷史中占據着一個相對中心的位置。抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析學中的許多重要理論都是因代數幾何研究的需要而提出的。我們不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特別是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。
本文作者陳躍，原文題目《什么是代數幾何》，因文章長度限制將文章分成兩部分：
《一文搞懂代數幾何發展史（一）》為20世紀早期及以前的很長一段時間內數學家們對代數簇的深入研究；
《一文搞懂代數幾何發展史（二）》講述從將抽象代數方法引入代數幾何到概形理論的創立這一時期的發現情況。
歡迎品鑒，一文搞懂代數幾何發展史。
歡迎回來，本文是《一文搞懂代數幾何發展史》的第二部分，我們繼續追本溯源說歷史。
四、將抽象代數方法引入到代數幾何中
要真正嚴格地建立起代數幾何的理論基礎，離不開抽象代數，這是因為抽象代數能夠在最一般的情形中准確地描述代數簇的性質。在1900到1930年之間，已經開始出現了一些抽象代數的理論，包括群、環、域和模等理論。群論主要來源於19世紀的伽羅瓦(Galois)理論，而環與理想的概念則來自於戴德金的代數數論，它們的最早雛形是數域的代數整數環及其理想的概念。克羅內克不僅從代數數論中抽象出了一般的環與理想的概念，並且拉斯克(Lasker)在20世紀初期就發現了理想與代數簇之間一些最基本的天然聯系，例如不可約仿射代數簇所對應的“坐標環(coordinate ring)”一定是整環，而不可約仿射代數簇的幾何維數實際上就等於這個整環的商域在復數域上的超越次數等。
圖 伽羅瓦
這樣我們就看到，在仿射代數簇與坐標環之間有一一對應的關系，如果我們將若干個仿射代數簇適當地“拼貼”在一起，那么就可以得到一個傳統意義上的代數簇。因此仿射代數簇是代數簇的基本組成部分。例如維復射影空間就是一個最簡單的代數簇，它是由個普通的維復歐氏空間經過拼貼而成的。
除了代數數論是環與理想理論的主要起源之外，希爾伯特(Hilbert)的代數不變量理論也是理想理論的重要來源。著名的希爾伯特零點定理是說：多項式空間中的極大理想和的點是一一對應的，因此坐標環的極大理想就與仿射簇的點一一對應。這其實也意味着可以根據代數的信息(即理想)來構造幾何的對象，這是后來概形(scheme)概念能夠產生的最原始的想法。
圖 希爾伯特
接着克魯爾(Krull)進一步建立了更多的關於環的理想理論，包括環的局部化(localization)的概念、整閉環的性質、賦值理論和克魯爾維數等內容。對代數幾何來說，環的局部化是非常基本的概念。對於仿射代數簇來說，整環的商域是它的有理函數域。對上的任何點，都有一個局部環，后來人們發現，這些局部環的全體組成了可以刻畫仿射代數簇的幾何特征的結構層(structure sheaf)。
E. 諾特(E.Neother)是20世紀最偉大的女數學家，她也是代數幾何學家馬克斯·諾特的女兒。在E. 諾特之前，代數學基本上只局限在實數域和復數域中進行研究，是E. 諾特首先認識到代數結構是代數學中的首要概念，她對建立起抽象代數學的基本理論框架起着主要的作用，范德瓦爾登(van der Waerden)寫的著名教材《代數學》就是為系統總結E. 諾特和E.阿丁(E. Artin)的環論以及其他抽象代數的理論而寫的。E. 諾特將戴德金的代數數域的理想分解理論推廣到一般的環上，得到了許多像“任何理想均可表示為准素理想的交”這樣的基本定理，特別是關於“諾特環”等在代數幾何中最常用到的有關概念和理論。
圖 E. 諾特
范德瓦爾登也對代數幾何的邏輯基礎建設有過重要的貢獻，他在1930年代寫了一系列的文章，用抽象代數的方法解釋了以往代數幾何學家們直觀籠統的“一般點(generic point)”和“特殊化(specialization)”的真正含義，給出了在相交理論中最基本的代數簇相交重數(intersection multiplicity)的嚴格定義。尤其值得一提的是：范德瓦爾登的學生和主要合作者周煒良也參與了代數幾何基礎的重建工作。周煒良是一位出生於上海的中國數學家，他的一生對代數幾何有着許多的貢獻，其中最有名的是，他證明了代數簇上閉鏈(cycle)的有理等價性定理，從而就可以定義一種重要的環——周環(Chow Ring)，它現在是相交理論中的一個基礎術語。
另一位在代數幾何中大規模引入抽象代數方法的數學家是扎里斯基(Zariski)。扎里斯基原來是意大利學派三位大師的學生，他對經他整理的意大利學派成果的證明嚴密性不足而感到不安和失落，所以他決定用抽象代數方法來重新給出所有的證明。開始的時候，扎里斯基僅僅是將幾何的語言“翻譯”成代數的語言，但是他很快意識到將經典代數幾何里的定理平行地翻譯成抽象代數的語言是遠遠不夠的，很多時候扎里斯基必須自己重新發明新的抽象代數概念，並推導出相關的抽象代數定理，才能滿足描述代數簇復雜性質的需要。例如在給出重要的代數曲面奇點解消定理證明的時候，扎里斯基就第一次成功地將環論中的整閉包的理論與克魯爾的賦值環的理論運用到了代數幾何中，並且還創造了一個被稱為“正規(normal)”的新的抽象代數概念。
五、現代整體微分幾何方法的引入
在1913年，數學家外爾(Weyl)在研究克萊因(Klein)的黎曼面著作的基礎上，寫出了《黎曼面的概念》這本極重要的著作，其中首次給出了黎曼面的現代嚴格定義，並系統整理了黎曼面的解析理論。從外爾給出的黎曼面內蘊定義出發，人們就不難得到高維微分流形的一般定義，即微分流形是局部同胚於歐氏空間的拓撲空間，並且所有的坐標鄰域之間的轉換函數都是可微函數。當然，代數簇不一定是微分流形，因為它可以包含奇點。然而從研究微分流形的過程中所產生的幾何方法和理論大多都可以用到代數幾何當中。實際上，微分流形的定義就是后來的概形定義的源頭，這兩個定義都強調不依賴外部的空間而獨立存在，而且局部都是與比較簡單的幾何對象同胚(或同構)。
此時列維-齊維塔(Levi-Civita)為了弄清楚黎曼所發現的復雜的曲率張量的真正含義，而提出了黎曼流形中“平行移動”的簡單概念。外爾則進一步將它發展成為“仿射聯絡(affine connection)”這一現代微分幾何的基本概念。所謂“聯絡”，簡單地說就是切空間的求導法則(用於刻畫流形的彎曲程度)。法國數學家E. 嘉當(E.Cartan)在其所使用的著名的“活動標架”方法的基礎上提煉出了“向量叢(vector bundle)”上的聯絡的思想(后來人們又從向量叢的理論中抽象出了更一般的“纖維叢(fiber bundle)”理論)。E. 嘉當還用外微分形式來表示向量叢上的聯絡。他在研究李群(一種特殊的微分流形)的整體拓撲性質的時候，發現從外微分形式中可以直接得到流形的幾何與拓撲不變量，從而找到了分析與拓撲之間的深刻聯系。E. 嘉當發現，由微分流形上的所有的外微分形式確定的德拉姆(de Rham)同調群與的上同調群(cohomology group)是同構的(“同構”這一術語的意思是說，在代數上這兩個群是完全一樣的)，從而就可以用外微分形式來表示代數簇的幾何不變量。
圖 陳省身
陳省身先生繼承了E. 嘉當的纖維叢思想，在1946年用復流形的纖維叢上的外微分形式確定了的上同調群的元素——“陳(示性)類”。這個概念建立起了纖維叢的上同調群與微分流形的上同調群之間的直接聯系，顯示了纖維叢對於描述微分流形的整體拓撲性質的重要性。后來人們逐漸發現，陳類是表達高維代數簇的黎曼-羅赫定理的基本工具，而纖維叢則是描述代數簇幾何性質的基本語言(如所周知，纖維叢也是現代數學物理理論中的一個基本概念)。
而要讓纖維叢真正進入代數幾何，靠的是另一位大數學家韋依(Weil)的努力。1950年，韋依首先發現纖維叢理論可以用到代數幾何中，這是因為他看出復流形上的每個被稱為“除子”的特殊子流形都對應了一個線叢(line bundle，即秩為1的向量叢)，而反映流形拓撲性質的主要指標歐拉示性數也必須用流形切叢的陳類來表達。這樣，纖維叢就和差不多同時發展起來的層論(sheaf theory)融合在一起，成為了推動代數幾何向前發展的強有力武器。
六、概形理論的創立
韋依可以說是現代數學中涉獵最廣的數學家，他對20世紀幾個主要的基礎數學分支學科都作出了重要的貢獻。韋依研究代數幾何的動機主要是來源於數論——他很早就想證明著名的黎曼猜想。韋依采用的是間接迂回的戰術。簡單地說就是先對一些比較簡單的域(例如有限域)證明黎曼猜想，從中取得經驗，然后再來對付最難的復數域上的黎曼猜想。
為了證明有限域上的黎曼猜想，韋依需要使用經典的代數幾何方法，所以他必須先解決經典代數幾何的概念模糊不清、理論基礎不穩的嚴重問題。為此他在1946年專門寫了一本專著《代數幾何基礎》，在其中韋依仿照微分流形的定義，首先提出了內蘊的抽象“代數簇”的定義，他用有理函數作為轉換函數，將局部的比較簡單的仿射代數簇粘貼在一起，成為了一個抽象的代數簇，從而徹底擺脫了外在射影空間的束縛，極大地擴展了代數幾何的適用范圍。韋依用交換代數的語言，重新引入了代數幾何中的一批重要的概念，包括閉鏈、一般點、特殊化、相交重數和曲面上的對應等。
1946年，在上述這本書出版之后不久，韋依終於證明了他的關於有限域上代數曲線的黎曼猜想。然后在1948年，韋依根據他對阿貝爾簇和格拉斯曼簇(Grassmann variety)等高維代數簇在有限域上的點數所做的計算結果，提出了高維代數簇上與黎曼猜想類似的“韋依猜想”。這個猜想充分顯示了在有限域上代數簇的算術(arithmetic，即數論)與復數域上的代數簇的拓撲之間具有非常深刻的內在聯系。
要想證明韋依猜想，數學家們需要太多的數學工具，其中就包括還沒有被創造出來的概形理論。概形的概念中包含了兩個方面的內容，第一個內容是抽象的“幾何對象”，第二個內容是它上面的各種“函數”，也就是“層”。層論最早是由法國數學家勒雷(Leray)在20世紀40年代初提出，層的概念來源於復變函數中的全純(解析)函數，它的元素既可以是函數，也可以是包括了群、環和纖維叢的截面(section)等在內的其他各種對象，因此它可以看成是纖維叢的某種形式的推廣。層的優點是包含了纖維叢中的各種幾何與拓撲信息。例如通過建立層的上同調群，可以從局部的信息來得到拓撲空間整體的信息，並且還可以處理帶有奇點的復雜幾何空間或流形。20世紀50年代，數學家H.嘉當(E.嘉當的兒子)在研究多復變函數論的時候，發現勒雷的層論非常有用。他發現意大利學派的許多復代數幾何不變量都可以通過層的上同調群語言表示出來。H. 嘉當還進一步給出了環層空間(ringed spaces)的定義，它的作用是將簡單的空間“粘貼”在一起。他還與艾倫伯格(Eilenberg)一起創立了在代數幾何中大量使用的同調代數基本理論體系，證明了同調代數中的許多定理。
圖 塞爾
另一位大力推進層論進入代數幾何的重要數學家是塞爾(Serre)。塞爾先在一種允許有奇點的Stein復流形上引入了十分重要的凝聚層(coherence sheaf)的概念(它可以看成是纖維叢的某種模擬)，凝聚層的上同調群具有十分良好的性質。接着塞爾又看出層論也可以用在比Stein流形更特殊的復代數簇上，於是他就立即系統地將層論大規模運用到了代數幾何中。塞爾為代數幾何構思了
一個最基本的研究對象，稱為“塞爾簇(Serre variety)”，其中充分吸
收了H. 嘉當的環層空間的概念。塞爾認為這是一個比韋依的不用層論的抽象代數簇更簡單的概念。不過和韋依的抽象代數簇一樣，塞爾簇也有自己的缺陷，例如有一個涉及“完全性(complete)”的附加條件就限制了塞爾簇的使用范圍。
實際上在20世紀50年代的時候，已經有人想到了概形這個比塞爾簇更基礎的概念，但是沒有人真正敢去實際建立這個概形理論。這是因為如果要將概形作為代數幾何的最基本的研究對象，那么就等於是將迄今為止建立起來的整個代數幾何的理論大廈推倒重來，並且這個概形理論需要綜合一百多年來所產生的代數、分析、幾何、數論與拓撲等學科的大量主要成果，以其工作量之浩大，這無疑就是一個“不可能完成的任務”。這個空前龐大的概形理論的誕生需要一個像格羅滕迪克那樣的超級天才式的人物。
1928年3月28日，格羅滕迪克出生於德國柏林的一個猶太家庭，他在開始其數學研究的生涯時，所研究的領域是泛函分析中的拓撲線性空間。在這之后，格羅騰迪克投入到了同調代數的研究中。也是在那個時期，他開始了與塞爾的長期著名通信。從塞爾以及其他的數學家那里，格羅滕迪克學到了許多現代數學和代數幾何的基本知識，轉而對代數幾何和數論產生了濃厚的興趣。他研究建立代數幾何基礎理論的強烈動機之一其實也是為了想證明那個與黎曼猜想類似的有限域上高維代數簇的韋依猜想。
圖 格羅滕迪克
前面曾經談到在仿射代數簇和它的坐標環之間有一一對應的關系，因此對仿射代數簇的幾何研究也就可以轉化為對相應的坐標環的代數研究。然而坐標環是一種性質很好的環，它在環論中還有一個專門的名稱叫“-代數(-algebra)”。由於不是每個交換環都可以成為仿射代數簇的坐標環(例如整數環Z就是如此)，所以格羅騰迪克就想用任意的交換環來構造一種類似於仿射代數簇那樣的抽象的幾何對象，使得每一個交換環都可以成為這種抽象幾何對象的“坐標環”。大約在1957年左右，卡吉耶(Cartier)建議用交換環的全體素理想的集合（稱為的“素譜”）來作為與對應的“幾何對象”，它是經典仿射代數簇的抽象推廣。這個簡單的想法立即成為了格羅騰迪克重建代數幾何基礎的出發點。這是因為每個交換環的素譜連同它上面的結構層一起，都能夠組成一個環層空間，這個環層空間就是最簡單的概形——“仿射概形(affine scheme)”。這個仿射概形就是格羅騰迪克心目中的“抽象的幾何對象”。一旦有了仿射概形，那么對這種新的幾何對象的研究就能夠轉化為對任意交換環的代數研究，這就將極大地拓展這種新幾何的適用范圍，實現人們長久以來夢寐以求的將代數幾何與代數數論統一起來的夢想。
概形就是局部同構於仿射概形的環層空間，或者也可以將概形粗略地理解為是將一些仿射概形經過適當的“粘貼”后而得到的。由於仿射概形是仿射代數簇的推廣，因此很明顯：概形確實是經典代數簇的抽象推廣。
1958年8月，格羅滕迪克在愛丁堡舉行的國際數學家大會上作了一個報告。他的這場報告不是對他過去已取得成果的匯報，而是對其未來十年工作的預告。后來被譽為代數幾何的聖經的八卷《代數幾何基礎》(簡稱EGA)，就是格羅滕迪克在1960-1967年間與迪厄多內(Dieudonné)合作完成的。在寫完EGA之后，格羅騰迪克和他的合作者們一起又馬不停蹄，繼續撰寫縮寫代號為SGA的另外八卷系列代數幾何專著。就這樣，通過總篇幅達7500頁的這兩套書的寫作，格羅騰迪克在20世紀60年代末，終於將經典的代數簇理論推廣成了適用面更廣的概形理論，真正為整個代數幾何學建立起了一個牢固的邏輯基礎，並且徹底重寫了代數幾何。
格羅騰迪克的概形理論將代數幾何打造成了一個在很大程度上將幾何、代數、數論與分析完美統一起來的邏輯推理體系，它具有許多經典代數幾何理論所沒有的優點。例如在概形上，可以有嚴格的“一般點(generic point)”、“基變換(change of bases)”、以及“冪零元(nilpotent element)”等非常有用的概念，並且可以用精細的抽象代數的方法來研究幾何對象的各種抽象的“幾何性質”，這樣就為解決一大批重要的經典數學問題開辟了道路。同樣在概形上，我們可以做所有的在經典代數簇上曾經做過的事情，例如可以定義廣義的“纖維叢”(即模層)、“除子”和“微分”，可以有層的上同調理論(包括Serre對偶定理等)，可以建立嚴格的代數簇分類理論和黎曼-羅赫定理，以及建立嚴格的相交理論(包括周環和陳類)等。在概形上也能夠做以前根本無法做到的事情，例如可以構造模空間的嚴格理論，尤其是可以建立能夠應用於數論的“算術代數幾何”理論等。
后來的歷史發展證明，當經典代數幾何的邏輯基礎問題被徹底解決后，代數幾何便立即取得了巨大進展，並因此促進了20世紀后半葉現代數學的大發展。下面列舉一些現代數學中因代數幾何的進步而獲得的重大成果，它們分別是：德利涅(Deligne)證明了數論中韋依猜想、廣中平佑解決任意維數代數簇的奇點解消問題、芒福德(Mumford)建立了一般模空間的理論、法爾廷斯(Faltings)證明了數論中的莫德爾(Mordell)猜想、森重文完成了3維代數簇分類、懷爾斯(Wiles)證明了數論中著名的費馬大定理以及吳寶珠證明了朗蘭茲(Langlands)綱領中的基本引理等。不僅如此，伴隨着這些重大問題的解決過程，同時又出現了一大批全新的數學研究領域，其中尤其令人想不到的是概形理論對於數學物理研究的巨大推動作用，而在量子場論中出現的許多新思想（例如弦理論、鏡像對稱和量子上同調等）反過來又促進了對於代數簇的拓撲和計數幾何的研究。
人們常說格羅滕迪克“有一種關於數學可能是什么的高屋建瓴般的觀點”。數學家巴斯(Bass)就曾評價：格羅滕迪克用一種“宇宙般普適”的觀點改變了整個數學的全貌。我們不妨可以簡單地將代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特別是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。
本篇到此結束，一文搞懂代數幾何發展史為您介紹完畢。