實驗——樹（根據后序和中序遍歷輸出先序遍歷、哈夫曼編碼）
一、實驗目的
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熟練掌握二叉樹、完全二叉樹的存儲方式，二叉樹的前序、中序、后序和層次遍歷方法，樹的性質。
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練習建立二叉樹的算法，通過前中、后中順序確定二叉樹的算法。
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通過二叉樹的算法，解決哈夫曼編碼等應用問題。
二、 根據后序和中序遍歷輸出先序遍歷
2.1 實驗內容和要求
問題描述
輸入格式
第一行給出正整數N(≤30)，是樹中結點的個數。隨后兩行，每行給出N個整數，分別對應后序遍歷和中序遍歷結果，數字間以空格分隔。題目保證輸入正確對應一棵二叉樹。
輸出格式
在一行中輸出Preorder: 以及該樹的先序遍歷結果。數字間有1個空格，行末不得有多余空格。
輸入樣例
7 2 3 1 5 7 6 4 1 2 3 4 5 6 7
輸出樣例
Preorder: 4 1 3 2 6 5 7
2.2 算法設計
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主流程設計
int main(){ 輸入樹中結點個數； 輸入該樹的后序遍歷結果； 輸入該樹的中序遍歷結果； 通過兩種遍歷結果創建該樹； 用先序遍歷方法輸出該樹； return 0； }
2. 構建二叉樹流程分析
*設計思路：通過后序遍歷找到該樹的根結點（即后序遍歷最后一個結點），根結點將中序遍歷序列分為兩個子序列，就可以確定根結點下的左右子樹的結點個數，且后序遍歷序列可以看作根結點左子樹序列+根結點右子樹序列+根結點組成。由樹的遞歸性可以對根結點左子樹序列、根結點右子樹序列進行相同操作。
*具體實現：設定兩序列長度均為Len，后序遍歷序列為Post，中序遍歷序列為In，在遞歸過程中后序遍歷序列區間為[k,Len-1]，中序遍歷序列區間為[k,Len-1]，由上述分析可以知道，在這一遞歸階段中，根結點為Post[Len-1], 接着在中序遍歷序列中尋找位置index，使In[index] = Post[Len-1]，這樣這一遞歸階段中左子樹結點數量為i， 進入下一遞歸階段時，左子樹后序遍歷序列和中序遍歷序列變為[k, i-1]，右子樹后序遍歷序列變為[k+i, Len-i-1]，中序遍歷序列變為[k+i+1, Len-i-1]（‘+1’是該樹的根結點的位置，需要跳過去）。
BinTree CreateBinTree(int* Post, int* In, int Len) { //輸入后序、中序和結點的個數 判斷是否有子樹; 創建樹; 將此時后序遍歷的最后一個數作為一個根結點; 遍歷中序結果; 若找到與根結點相同的數，將該數下標做標記，並且跳出循環; 找根結點的左子樹; 找根結點右子樹的值; }
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ADT定義
typedef struct TNode* PreToTNode; struct TNode { int Data; PreToTNode Left; PreToTNode Right; }; typedef PreToTNode BinTree; //根據前序和中序遍歷，構建二叉樹 BinTree CreateBinTree(int* Post, int* In, int Len); //先序遍歷輸出 void PreorderTraversal(BinTree BT);
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算法示例
2.3 算法分析
通過算法過程示例發現，時間復雜度為 O(n) = O(NlogN[構建二叉樹] + NlogN[先序遍歷輸出]) = O(2*NlogN) ；
空間復雜度為二叉樹 的構造空間使用 O(n) = O(N)。
三、哈夫曼編碼
3.1 實驗內容和要求
問題描述
給定一段文字，如果我們統計出字母出現的頻率，是可以根據哈夫曼算法給出一套編碼，使得用此編碼壓縮原文可以得到最短的編碼總長。然而哈夫曼編碼並不是唯一的。例如對字符串"aaaxuaxz"，容易得到字母 'a'、'x'、'u'、'z' 的出現頻率對應為 4、2、1、1。我們可以設計編碼 {'a'=0, 'x'=10, 'u'=110, 'z'=111}，也可以用另一套 {'a'=1, 'x'=01, 'u'=001, 'z'=000}，還可以用 {'a'=0, 'x'=11, 'u'=100, 'z'=101}，三套編碼都可以把原文壓縮到 14 個字節。但是 {'a'=0, 'x'=01, 'u'=011, 'z'=001} 就不是哈夫曼編碼，因為用這套編碼壓縮得到 00001011001001 后，解碼的結果不唯一，"aaaxuaxz" 和 "aazuaxax" 都可以對應解碼的結果。本題就請你判斷任一套編碼是否哈夫曼編碼。
輸入格式
首先第一行給出一個正整數 N（2≤N≤63），隨后第二行給出 N 個不重復的字符及其出現頻率，格式如下：
c[1] f[1] c[2] f[2] ... c[N] f[N]
其中c[i]是集合{'0' - '9', 'a' - 'z', 'A' - 'Z', '_'}中的字符；f[i]是c[i]的出現頻率，為不超過 1000 的整數。再下一行給出一個正整數 M（≤1000），隨后是 M 套待檢的編碼。每套編碼占 N 行，格式為：
c[i] code[i]
其中c[i]是第i個字符；code[i]是不超過63個'0'和'1'的非空字符串。
輸出格式
對每套待檢編碼，如果是正確的哈夫曼編碼，就在一行中輸出"Yes"，否則輸出"No"。 注意：最優編碼並不一定通過哈夫曼算法得到。任何能壓縮到最優長度的前綴編碼都應被判為正確。
輸入樣例
7 A 1 B 1 C 1 D 3 E 3 F 6 G 6 4 A 00000 B 00001 C 0001 D 001 E 01 F 10 G 11 A 01010 B 01011 C 0100 D 011 E 10 F 11 G 00 A 000 B 001 C 010 D 011 E 100 F 101 G 110 A 00000 B 00001 C 0001 D 001 E 00 F 10 G 11
輸出樣例
Yes
Yes
No
No
3.2 算法設計
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主流程設計
int main(){ 建一個哈夫曼樹; 將字符存進去; 計算最優WPL; 讀入待檢測的編碼; 比較編碼的wpl是否與最優WPL一致; 檢測是否是前綴編碼; }
2. 哈夫曼樹的構造
*設計思路：由哈夫曼樹和帶權路徑長度的定義可知，一棵二叉樹要使其WPL最小，必須使權值越大的葉結點越靠近根結點，而權值越小的葉結點越遠離根結點。可在初始狀態下將每一個字符看成一棵獨立的樹，每一步選擇權值最小的兩顆樹進行合並。
初始化哈夫曼樹; for(遍歷前n個){ 存葉子節點,賦給權值,其他項(parent、lchild、rchild)賦零; } for(遍歷后面的){ 存非葉子節點,權值賦零,其他項也賦零; } 建立哈夫曼樹; for(遍歷每套編碼方案){ 在HT[1,i-1]中找到沒有parent且權值最小的兩個元素(需要一個函數); 將其parent、lchild、rchlid賦值，並算該樹的權值，一步一步建立哈夫曼樹; }
注意根結點的位置變化;
}
3. 最優帶權路徑長度(WPL)的求值
*設計思路：計算該樹的最優帶權路徑長度，用來判斷所給編碼方案是否為最優編碼。 具體實現：運用遞歸函數，由根結點依次向下找出葉節點。
void GetWPL(HuffmanTree HT, int Deep, HTNode* p){ //對葉子節點進行計算 if ((p->lchild == 0) && (p->rchild == 0)){ WPL += (p->weight) * Deep; } if (p->lchild != 0) //注意細節，不能用 else if GetWPL(HT, Deep + 1, HT + (p->lchild)); if (p->rchild != 0) GetWPL(HT, Deep + 1, HT + (p->rchild)); }
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前綴編碼的判斷 * 設計思路：前綴編碼是指任一字符的編碼都不是另一個字符編碼的前綴（等長編碼一定是前綴編碼！）。由於需要編碼及其地址，所以運用二維數組的傳遞更為方便。 *具體實現：將這些編碼逐個的添加到二維數組中，對於每一個編碼字符串，字符串中的每一個字符也逐個掃描（需要注意循環開始的條件），先假定不是前綴編碼，用flag記錄，兩兩相比較，如果在循環中有不一樣的編碼位，說明是前綴編碼；如果循環結束但已掃描到某節點為葉子節點但字符串還未結束，或者字符串已掃描結束但還當前節點非空，那么就不是前綴碼。
int IsPreCoding(char temp[][64]){ int i, j, h, len1, len2; for (i = 1; i <= N - 1; ++i){ for (j = i + 1; j <= N; ++j){ //j和i為需要比較的元素下標 int flag = 0; for (h = 0; (temp[i][h] != '\0') && (temp[j][h] != '\0'); h++){ if (temp[i][h] != temp[j][h]){ flag = 1; } } if (flag == 0){ return 0; } } } return 1; }
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ADT定義
int m; //哈夫曼樹節點個數 int w[64], N, M; //權值數組W[],元素數量N，M套編碼 int WPL; //帶權路徑長度 typedef struct HTNode* HuffmanTree; struct HTNode{ int weight; //結點權值 int parent, lchild, rchild; }; HTNode* Root_pos; typedef char** HuffmanCode; //定義元素類型為 char數組首地址 的數組 void Select(HuffmanTree& HT, int n, int& s1, int& s2); //比較權值，找出最小、次小權值 void HuffmanCoding(HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int* w, int n); //構造哈夫曼樹 int IsPreCoding(char temp[][64]); //判斷是否為前綴編碼 void GetWPL(HuffmanTree HT, int Deep, HTNode* p); //對葉子節點進行計算，求WPL
2.3 算法分析
該Huffman算法的復雜度主要由以下幾部分組成：
（1）構造哈夫曼樹：O(N^2);
（2）求最優WPL: O(NlogN);
（3）前綴編碼的判斷：O(N^2);
故整體復雜度為 O(n) = (NlogN) ；
空間復雜度為結點空間的使用，即O(N)。
四、總結
根據后序和中序遍歷輸出先序遍歷：
主要不清楚的點在構建樹的左右子樹的遞歸函數中后序序列、中序序列和根結點、長度的關系，根據例子畫圖，按照還原后的二叉樹反過來一步一步帶入到函數中，最后再正着分析才明白；
哈夫曼編碼：
雖然知道如何求WPL、哈夫曼編碼怎么構建，但也只是頭腦中的動畫演示，代碼寫不出來，於是在網上找到了代碼做思考分析。這個代碼思路特別清晰，難理解的是其使用的方法，例如運用二維數組的傳遞判斷是否為前綴編碼，不知道為什么用二維數組、為什么不用一維或者直接掃描或者其他容器，經過反復研讀代碼，做了些小試驗，體會到了運用二維數組傳遞的簡潔，還有其他一些不懂的，又重新多看了幾遍慕課和書本相關內容。在整個分析中發現自己更多的問題，特別是樹、指針、地址、數組等的靈活運用，還有代碼的理解能力等，感覺還有一些沒有想到的問題與分析。這是一道經典題，需要強加記憶、反復思考，需要勤加鍛煉、多動手打代碼，需要反復修改;
通過這兩道題：
書、慕課、CSDN、畫圖或者動畫演示等都是為自己能夠記住、能夠自己打出成功代碼而服務的，不要認為理解了、能十分詳細的用圖的形式解釋明白就完事了的，還需要再看反復看，會有新的認識，對自己寫代碼就會有更多的幫助。
五、源代碼（主要）
5.1 根據后序和中序遍歷輸出先序遍歷
/* 先序遞歸遍歷 *訪問根結點 *先序遍歷其左子樹 *先序遍歷其右子樹 */ void PreorderTraversal(BinTree BT) { if (BT) { printf(" %d", BT->Data); PreorderTraversal(BT->Left); PreorderTraversal(BT->Right); } } /* 構建樹 *輸入后序、中序和結點的個數 */ BinTree CreateBinTree(int* Post, int* In, int Len) { BinTree T; int index = 0; if (Len == 0) { //判斷是否有子樹 return NULL; } T = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode)); //創建樹 T->Data = Post[Len - 1]; //此時后序遍歷的最后一個數作為一個根結點 for (int i = 0; i < Len; i++) { //遍歷中序結果 if (In[i] == Post[Len - 1]) { //若找到與根結點相同的數，將該數下標做標記，跳出循環 index = i; break; } } T->Left = CreateBinTree(Post, In, index); //找根結點的左子樹 T->Right = CreateBinTree(Post + index, In + index + 1, Len - index - 1); //找根結點右子樹的值 return T; }
5.2 哈夫曼編碼
/*找最小、次小權值*/ void Select(HuffmanTree& HT, int n, int& s1, int& s2){ int i; s1 = s2 = 0; int min1 = INT_MAX; //最小值，INT_MAX在<limits.h>中定義的 int min2 = INT_MAX; //次小值 for (i = 1; i <= n; ++i){ if (HT[i].parent == 0){ //找沒有parent的最小和次小權值（下標） //只有兩種情況 if (HT[i].weight < min1){ min2 = min1; //舊的最小權值賦給舊的次小權值 s2 = s1; //下標變動 min1 = HT[i].weight; //賦最小權值 s1 = i; } else if ((HT[i].weight >= min1) && (HT[i].weight < min2)){ min2 = HT[i].weight; //賦次小權值 s2 = i; } } } } void HuffmanCoding(HuffmanTree& HT, HuffmanCode& HC, int* w, int n){ if (n <= 1) return; M = 2 * n - 1; HuffmanTree p; int i; HT = (HuffmanTree)malloc((M + 1)*sizeof(HTNode)); //初始化哈夫曼樹 w++; for (p = HT + 1, i = 1; i <= n; ++i, ++p, ++w){ //前n個存葉子節點,賦權值，其他項賦零 p->weight = *w; p->parent = 0; p->lchild = 0; p->rchild = 0; } for (; i <= M; ++i, ++p){ //后面存非葉子節點； p->weight = 0; p->parent = 0; p->lchild = 0; p->rchild = 0; } //建立哈夫曼樹 int s1, s2; for (i = n + 1; i <= M; i++){ Select(HT, i - 1, s1, s2); //此函數在HT[1,i-1]中選擇父為零且w值最小的兩個元素，返回下標 HT[s1].parent = i; HT[s2].parent = i; HT[i].lchild = s1; HT[i].rchild = s2; HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; } Root_pos = (HT + i - 1); } /*前綴編碼的判斷*/ int IsPreCoding(char temp[][64]){ int i, j, h, len1, len2; for (i = 1; i <= N - 1; ++i){ //循環比較N-1次 for (j = i + 1; j <= N; ++j){ //j和i為需要比較的元素下標 int flag = 0; //假定不是前綴編碼 for (h = 0; (temp[i][h] != '\0') && (temp[j][h] != '\0'); h++){ if (temp[i][h] != temp[j][h]){ //循環中有不一樣的編碼位，說明是前綴編碼 flag = 1; } } if (flag == 0){ //如果循環結束flag還沒有變，說明當前的兩個不是前綴編碼，返回0 return 0; } } } return 1; } //遞歸求WPL void GetWPL(HuffmanTree HT, int Deep, HTNode* p){ //對葉子節點進行計算 if ((p->lchild == 0) && (p->rchild == 0)){ WPL += (p->weight) * Deep; } if (p->lchild != 0) GetWPL(HT, Deep + 1, HT + (p->lchild)); if (p->rchild != 0) GetWPL(HT, Deep + 1, HT + (p->rchild)); } int main(){ /*處理哈夫曼樹*/ cin >> N; char ch; int i; for (i = 1; i <= N; i++){ cin >> ch >> w[i]; } HuffmanTree HT; HuffmanCode HC, HCp; HuffmanCoding(HT, HC, w, N); /*得出權值最優路徑*/ int Deep = 0; HTNode* p = Root_pos; WPL = 0; GetWPL(HT, Deep, p); /*處理編碼方案*/ cin >> M; for (int j = 0; j < M; j++){ //M套編碼方案 int wpl = 0; char temp[N + 2][64]; //注意開二維數組，下面每個循環用一維 for (i = 1; i <= N; i++){ //每套編碼都是N個元素 cin >> ch >> temp[i]; wpl += (strlen(temp[i]) * w[i]); } if (wpl > WPL){ //判斷是否是最優編碼 cout << "No" << endl; }else{ if (IsPreCoding(temp)){ //判斷是否是前綴編碼 cout << "Yes" << endl; }else{ cout << "No" << endl; } } } getchar(); return 0; }
算法分析、遍歷生成樹分析圖等均為原創作品，歡迎指正！