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樹狀數組和線段樹
眾所周知， 線段樹和樹狀數組是兄弟來的
它們之間的關系
樹狀數組可以解的，線段樹能解
樹狀數組不可以解的，線段樹還是可以解
既然這樣，那我學會線段樹不就搞定了嗎，干嘛還學樹狀數組呀
那么，樹狀數組優在何處呢？
其實呢，就是碼量少，思維清晰吧
對比一下
單點修改區間查詢
線段樹100行起步
樹狀數組呢，50行左右吧
區間修改區間查詢
線段樹估計要飆到150了吧
樹狀數組依舊50行
沒有對比就沒有傷害呀
這時，有些線段樹忠實粉或許會思考人生：你看我還有機會嗎？
機會是有的，那就是，打樹狀數組吧（當然有些題還是要打線段樹的啦）
樹狀數組簡介
樹狀數組圖解
此章節內容部分引用自bestsort的小站
眾所周知，一棵滿二叉樹長樣：
挪一下位置后，變成了這樣
上面這個就是樹狀數組的畫法
准確來說，這時求和數組的畫法
把原數組\(a\)也加進來，成了這樣（\(c\)是求和數組）
\(c[i]\)表示子樹葉子節點的權值
如上圖，有
\(c[1]=a[1]\\ c[2]=a[1]+a[2]\\ c[3]=a[3]\\ c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\\ c[5]=a[5]\\ c[6]=a[5]+a[6]\\ c[7]=a[7]\\ c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]\)
轉換成二進制再來看一眼
\(c[1]=c[0001]=a[1]\\ c[2]=c[0010]=a[1]+a[2]\\ c[3]=c[0011]=a[3]\\ c[4]=c[0100]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]\\ c[5]=c[0101]=a[5]\\ c[6]=c[0110]=a[5]+a[6]\\ c[7]=c[0111]=a[7]\\ c[8]=c[1000]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]\)
對照式子可以發現，對於一個\(i\)
\(c[i]=a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+a[i-2^k+3]……+a[i]\)（\(k\)為二進制下\(i\)最低位的1后面的0的個數,例如8對應的\(k\)就等於3，因為\(8_{10}=1000_2\)，最低位的1后面有3個0）
這時候，問題就來了，\(2^k\)怎么求？？？
引入\(lowbit\)
\(lowbit\)函數就是用來求\(2^k\)是多少的
具體操作是
int lowbit(int x) {return x&(-x);}
解釋
“&”這個符號在C++中指的是按位與運算，具體是說，若在二進制下相同的位置兩數都為1，那么&出的答案這一位也為1，否則為0
例如\(12\&6\)
\(12_{10}=1100_2\)
\(6_{10}=0110_2\)（空位用0補齊）
\(ans=0100_2=4_{10}\)
在上面這個數據中，12和6只有第三個位置上才都是1，那么答案也就只有這個位置上是1
（ 不過學樹狀數組的人應該都不會不知道位運算吧）
那么\(x\&(-x)\)是什么意思呢
首先說明\(-x\)在二進制下和\(x\)的關系
在二進制下，\(-x\)就是\(x\)取反后再加1
例如，\(10_{10}=01010_2\)，那么\(-10_{10}=10101_2+1_2=10110_2\)（第一位是符號位）
進行按位與運算后，答案就是\(00010_2=2^1=2_{10}\)（第一位是符號位）
眼睛掃一掃，發現答案就是\(2\)
神奇吧
具體證明呢
我們知道一個數取反后與原來的每個位置都是相反的，那么原本1的位置就是0，原本0的位置就是1，那么加一后會一直進位到第一個0，也就是在原本數上的第一個1，這時候按位與一下就只有第一個1及以前的是一樣的，也就可以得到正確結果
基本應用
1.單點修改，區間查詢
修改
若要更新當前節點的\(a[i]\)
那么是不是可以直接更新\(a[i]\)的上級，\(a[i]\)上級的上級，以此類推
用\(lowbit\)到上級所在下標
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
查詢
對於區間查詢，我們采取前綴和的求法
對於一個區間\([l,r]\)，我們求出\(r\)的前綴和，減去\(l-1\)的前綴和即為答案
查詢的具體過程呢，也很簡單
就是從要查的節點以此往下，搜索下級
依舊是用\(lowbit\)
int get(int x)
{
int i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
題目
Code
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
long long n,m,i,x,y,ch,c[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long now,long long x)
{
long long i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&x);
update(i,x);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&ch,&x,&y);
if (ch==2) printf("%lld\n",get(y)-get(x-1));
else update(x,y);
}
return 0;
}
2.區間修改，單點查詢
修改
引入差分的思想，記錄數組里每個元素與前一個元素的差，那么\(a_i=\sum_{j=1}^i d_j\)，如果修改區間\([l,r]\)，令其加上\(x\)，那么\(l\)與\(l-1\)的差增加了\(x\)，\(r\)與\(r+1\)的差減小了\(x\)，根據差分，就可以給\(d_{l}\)加上\(x\)，給\(d_{r+1}\)減去\(x\)
查詢
直接根據\(a_i=\sum_{j=1}^i d_j\)，查前綴和就好
題目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,i,l,r,x,bj;
long long a[1000005],c[1000005];
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int now,int x)
{
int i;
for (i=now;i<=n;i+=lowbit(i))
c[i]+=x;
}
long long get(int x)
{
int i;
long long ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=c[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%d",&x);
printf("%lld\n",get(x));
}
}
return 0;
}
3.區間修改，區間查詢
這個也是線段樹最麻煩的地方，通常100行起步，但樹狀數組就不用了，實測50行不到，而且我不壓行
先看一下如果按照問題2的方法來求區間前綴和，要怎么求
位置\(x\)的前綴和=\(\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^id_j\)，發現在這個式子里，\(d_1\)被計算了\(x\)此，\(d_2\)被計算了\(x-1\)次……，\(d_x\)被計算了1次。那么這個式子就可以轉化為
\(\sum_{i=1}^xd_i\times(x-i+1)=(x+1)\sum_{i=1}^xd_i-\sum_{i=1}^xd_i\times i\)
其中\(x+1\)是給出的，那么我們記錄\(d_i\)和\(d_i\times i\)就可以了
維護兩個數組\(sum1\)和\(sum2\)，分別記錄\(d_i\)和\(d_i\times i\)
修改
\(sum1\)同問題2的\(d\)，\(sum2\)也類似，\(l\)加上\(l\times x\)，\(r+1\)減去\((r+1)x\)
查詢
單點\(x\)的前綴和就是\((x+1)\times sum1\)中\(x\)的前綴和-\(sum2\)中\(x\)的前綴和，區間\([l,r]\)的值就是\(r\)的前綴和-\(l-1\)的前綴和
題目
Code
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m,i,l,r,x,bj,a[1000005],c1[1000005],c2[1000005];
long long lowbit(long long x)
{
return x&(-x);
}
void update(long long k,long long x)
{
long long i;
for (i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
{
c1[i]+=x;
c2[i]+=x*k;
}
}
long long get(long long x)
{
long long i,ans;
ans=0;
for (i=x;i;i-=lowbit(i))
ans+=((x+1)*c1[i])-c2[i];
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
update(i,a[i]-a[i-1]);
}
for (i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld",&bj);
if (bj==1)
{
scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);
update(l,x);
update(r+1,-x);
}
else
{
scanf("%lld%lld",&l,&r);
printf("%lld\n",get(r)-get(l-1));
}
}
return 0;
}
小結
線段樹與樹狀數組有很多相似的地方，但是樹狀數組很明顯的優勢就是短，但是線段樹可以處理很多種情況，而這里面有些是樹狀數組做不到的，所以說不論是線段樹還是樹狀數組，我們都應該學習一下，然后選擇更好的去解決題目。
不定時更新高階操作