有一種樹叫做線段樹，有一種數組叫做樹狀數組

本文轉載自查看原文 2014-04-24 18:01 3744

近日受到微軟編程之美大賽第二題和hdu一些題目變態般的大數據的刺激，而且老是聽到群里的一些大神講什么線段樹，樹狀數組，分桶法呀等等一系列不明覺厲的東西，花了幾天好好看了下線段樹和樹狀數組，下面我來分享一些，我的心得和感悟，如有不足之處歡迎大神們前來狂噴。

微軟編程之美初賽第一場樹題解http://blog.csdn.net/asdfghjkl1993/article/details/24306921

線段樹和樹狀數組都是一種擅長處理區間的數據結構。它們間最大的區別之一就是線段樹是一顆完美二叉樹，而樹狀數組（BIT）相當於是線段樹中每個節點的右兒子去掉。

如圖：

線段樹

樹狀數組：

樹狀數組一般適用於三類問題：

1，修改一個點求一個區間

2，修改一個區間求一個點

3，求逆序列對

而用樹狀數組能夠解決的問題，用線段樹肯定能夠解決，反之則不一定。但是樹狀數組有一個明顯的好處就是較為節省空間，實現要比線段樹要容易得多，而且在處理某些問題的時候使用樹狀數組效率反而會高得多。昨天看到某位大牛在博客上也留下了這樣一句話，線段樹擅長處理橫向區間的問題，樹狀數組擅長處理縱向區間的問題，可能由於水平有限，暫時還木有體會到這一點。。。。憂傷。。。

下面我們來看兩道比較基礎的線段樹模板題

首先是點修改的：

一次修改一個點，然后查詢最大值還有和：

 1 void update(int u,int v,int o,int l,int r)
 2 
 3 {
 4 
 5 int m=(l+r)/2;
 6 
 7 if(l==r)
 8 
 9 {
10 
11 maxv[o]=v;
12 
13 sum[o]=v;
14 
15 }
16 
17 else
18 
19 {
20 
21 if(u<=m)
22 
23 update(u,v,o*2,l,m);
24 
25 else
26 
27 update(u,v,o*2+1,m+1,r);
28 
29 maxv[o]=max(maxv[o*2],maxv[o*2+1]);
30 
31 sum[o]=sum[o*2]+sum[o*2+1];
32 
33 }
34 
35 }
36 
37 int query_sum(int ql,int qr,int o,int l,int r)
38 
39 {
40 
41 int m=(l+r)/2;
42 
43 if(ql<=l&&r<=qr)
44 
45 return sum[o];
46 
47 if(ql<=m)
48 
49 return query_sum(ql,qr,o*2,l,m);
50 
51 if(m<qr)
52 
53 return query_sum(ql,qr,o*2+1,m+1,r);
54 
55 }
56 
57 int query_max(int ql,int qr,int o,int l,int r)
58 
59 {
60 
61 int m=(l+r)/2,ans=-1;
62 
63 if(ql<=l&&r<=qr)
64 
65 return maxv[o];
66 
67 if(ql<=m)
68 
69 return max(ans,query_max(ql,qr,o*2,l,m));
70 
71 if(m<qr)
72 
73 return max(ans,query_max(ql,qr,o*2+1,m+1,r));
74 
75 }

然后是區間修改的：

Uva11992這道題是劉汝佳厚白書中的例題

題目鏈接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3143

大意為對一個矩陣進行操作，選擇其中子矩陣（x1,y1,x2,y2）可以讓它每個元素增加v

也可以讓它每個元素等於v,也可以查詢這個子矩陣的元素和，最小值，最大值。

解決方法當然是線段樹，不過對於這棵線段樹的update，對於set操作要請除節點上的

Addv標記，但對於add操作不清楚setv標記，在maintain函數中先考慮setv再考慮addv

而在query中要綜合考慮setv和addv.

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<cstdio>
  4 
  5 #include<cstring>
  6 
  7 #include<algorithm>
  8 
  9 using namespace std;
 10 
 11  
 12 
 13 const int maxnode = 1<<17;
 14 
 15  
 16 
 17 int _sum, _min, _max, op, x1, x2, y1, y2, x, v;
 18 
 19  
 20 
 21 class IntervalTree {
 22 
 23   int sumv[maxnode], minv[maxnode], maxv[maxnode], setv[maxnode], addv[maxnode];
 24 
 25  
 26 
 27   // 維護節點o
 28 
 29   void maintain(int o, int L, int R) {
 30 
 31     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 32 
 33     if(R > L) {
 34 
 35       sumv[o] = sumv[lc] + sumv[rc];
 36 
 37       minv[o] = min(minv[lc], minv[rc]);
 38 
 39       maxv[o] = max(maxv[lc], maxv[rc]);
 40 
 41     }
 42 
 43     if(setv[o] >= 0) { minv[o] = maxv[o] = setv[o]; sumv[o] = setv[o] * (R-L+1); }
 44 
 45     if(addv[o]) { minv[o] += addv[o]; maxv[o] += addv[o]; sumv[o] += addv[o] * (R-L+1); }
 46 
 47   }
 48 
 49  
 50 
 51   //標記傳遞
 52 
 53   void pushdown(int o) {
 54 
 55     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 56 
 57     if(setv[o] >= 0) {
 58 
 59       setv[lc] = setv[rc] = setv[o];
 60 
 61       addv[lc] = addv[rc] = 0;
 62 
 63       setv[o] = -1; // 清楚標記
 64 
 65     }
 66 
 67     if(addv[o]) {
 68 
 69       addv[lc] += addv[o];
 70 
 71       addv[rc] += addv[o];
 72 
 73       addv[o] = 0; // Çå³ý±¾½áµã±ê¼Ç
 74 
 75     }
 76 
 77   }
 78 
 79  
 80 
 81   void update(int o, int L, int R) {
 82 
 83     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 84 
 85     if(y1 <= L && y2 >= R) { // 在區間內
 86 
 87       if(op == 1) addv[o] += v;
 88 
 89       else { setv[o] = v; addv[o] = 0; }
 90 
 91     } else {
 92 
 93       pushdown(o);
 94 
 95       int M = L + (R-L)/2;
 96 
 97       if(y1 <= M) update(lc, L, M); else maintain(lc, L, M);
 98 
 99       if(y2 > M) update(rc, M+1, R); else maintain(rc, M+1, R);
100 
101     }
102 
103     maintain(o, L, R);
104 
105   }
106 
107  
108 
109   void query(int o, int L, int R, int add) {
110 
111     if(setv[o] >= 0) {
112 
113       int v = setv[o] + add + addv[o];
114 
115       _sum += v * (min(R,y2)-max(L,y1)+1);
116 
117       _min = min(_min, v);
118 
119       _max = max(_max, v);
120 
121     } else if(y1 <= L && y2 >= R) {
122 
123       _sum += sumv[o] + add * (R-L+1);
124 
125       _min = min(_min, minv[o] + add);
126 
127       _max = max(_max, maxv[o] + add);
128 
129     } else {
130 
131       int M = L + (R-L)/2;
132 
133       if(y1 <= M) query(o*2, L, M, add + addv[o]);
134 
135       if(y2 > M) query(o*2+1, M+1, R, add + addv[o]);
136 
137     }
138 
139   }
140 
141 };
142 
143  
144 
145 const int maxr = 20 + 5;
146 
147 const int INF = 1000000000;
148 
149  
150 
151 IntervalTree tree[maxr];
152 
153  
154 
155 int main() {
156 
157   int r, c, m;
158 
159   while(scanf("%d%d%d", &r, &c, &m) == 3) {
160 
161     memset(tree, 0, sizeof(tree));
162 
163     for(x = 1; x <= r; x++) {
164 
165       memset(tree[x].setv, -1, sizeof(tree[x].setv));
166 
167       tree[x].setv[1] = 0;
168 
169     }
170 
171     while(m--) {
172 
173       scanf("%d%d%d%d%d", &op, &x1, &y1, &x2, &y2);
174 
175       if(op < 3) {
176 
177         scanf("%d", &v);
178 
179         for(x = x1; x <= x2; x++) tree[x].update(1, 1, c);
180 
181       } else {
182 
183         _sum = 0; _min = INF; _max = -INF;
184 
185         for(x = x1; x <= x2; x++) tree[x].query(1, 1, c, 0);
186 
187         printf("%d %d %d\n", _sum, _min, _max);
188 
189       }
190 
191     }
192 
193   }
194 
195   return 0;
196 
197 }

再來看看樹狀數組的

先來個改點求區間的

看看hdu1161

題目鏈接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166

題目大意：給n個初始數據構建一棵樹狀數組，然后進行查詢求和等一些列操作。

標准模板題，不解釋。

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<algorithm>
  4 
  5 #include<cstring>
  6 
  7 #include<cstdio>
  8 
  9 #include<cmath>
 10 
 11 using namespace std;
 12 
 13 const int MAX=50005;
 14 
 15 int N;
 16 
 17 class BIT
 18 
 19 {
 20 
 21 private:
 22 
 23     int bit[MAX];
 24 
 25     int lowbit(int t)
 26 
 27     {
 28 
 29         return t&-t;
 30 
 31     }
 32 
 33 public:
 34 
 35     BIT()
 36 
 37     {
 38 
 39         memset(bit,0,sizeof(bit));
 40 
 41     }
 42 
 43     int sum(int i)
 44 
 45     {
 46 
 47         int s=0;
 48 
 49         while(i>0)
 50 
 51         {
 52 
 53             s+=bit[i];
 54 
 55             i-=lowbit(i);
 56 
 57         }
 58 
 59         return s;
 60 
 61     }
 62 
 63     void add(int i,int v)
 64 
 65     {
 66 
 67         while(i<=N)
 68 
 69         {
 70 
 71             bit[i]+=v;
 72 
 73             i+=lowbit(i);
 74 
 75         }
 76 
 77     }
 78 
 79 };
 80 
 81 int main()
 82 
 83 {
 84 
 85     int T;
 86 
 87     while(cin>>T)
 88 
 89     {
 90 
 91         for(int t=1;t<=T;t++)
 92 
 93         {
 94 
 95             printf("Case %d:\n",t);
 96 
 97             cin>>N;
 98 
 99             BIT tree;
100 
101             for(int i=1;i<=N;i++)
102 
103             {
104 
105                 int x;
106 
107                 cin>>x;
108 
109                 tree.add(i,x);
110 
111             }
112 
113             char ord[15];
114 
115             while(scanf("%s",ord)&&strcmp(ord,"End"))
116 
117             {
118 
119                 int a,b;
120 
121                 scanf("%d%d",&a,&b);
122 
123                 switch(ord[0])
124 
125                 {
126 
127                 case 'Q':
128 
129                     printf("%d\n",tree.sum(b)-tree.sum(a-1));
130 
131                     break;
132 
133                 case 'A':
134 
135                     tree.add(a,b);
136 
137                     break;
138 
139                 case 'S':
140 
141                     tree.add(a,-b);
142 
143                     break;
144 
145                 }
146 
147             }
148 
149         }
150 
151     }
152 
153     return 0;
154 
155 }

View Code

再看一道修改區間，然后單點查詢的

看hdu 1556

題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556

N個氣球排成一排，從左到右依次編號為1,2,3....N.每次給定2個整數a b(a <= b),lele便為騎上他的“小飛鴿"牌電動車從氣球a開始到氣球b依次給每個氣球塗一次顏色。但是N次以后lele已經忘記了第I個氣球已經塗過幾次顏色了，你能幫他算出每個氣球被塗過幾次顏色嗎？

這題是修改區間的，單點查詢的，則要注意一點先對左區間進行操作add(a,1)，然后對右邊區間進行操作add(b+1,-1),把不該修改的那部分值再修改回來，即實現了對一個區間的值的修改。然后通過sum(i)，即可求點（如果有人問為什么是sum(i)而不是bit[i]呢？我只能說你太天真了。。。。自己再紙上畫畫就能知道。。。。）

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<algorithm>
  4 
  5 #include<cstdio>
  6 
  7 #include<cstring>
  8 
  9 using namespace std;
 10 
 11 const int MAX=100001;
 12 
 13 int N;
 14 
 15 class BIT2
 16 
 17 {
 18 
 19 private:
 20 
 21     int bit[MAX];
 22 
 23     int lowbit(int t)
 24 
 25     {
 26 
 27         return t&-t;
 28 
 29     }
 30 
 31 public:
 32 
 33     BIT2()
 34 
 35     {
 36 
 37         memset(bit,0,sizeof(bit));
 38 
 39     }
 40 
 41     int add(int i,int v)
 42 
 43     {
 44 
 45         while(i<=N)
 46 
 47         {
 48 
 49             bit[i]+=v;
 50 
 51             i+=lowbit(i);
 52 
 53         }
 54 
 55     }
 56 
 57     int sum(int i)
 58 
 59     {
 60 
 61         int s=0;
 62 
 63         while(i>0)
 64 
 65         {
 66 
 67             s+=bit[i];
 68 
 69             i-=lowbit(i);
 70 
 71         }
 72 
 73         return s;
 74 
 75     }
 76 
 77 };
 78 
 79 int main()
 80 
 81 {
 82 
 83     while(cin>>N&&N)
 84 
 85     {
 86 
 87         int a,b;
 88 
 89         BIT2 tree;
 90 
 91         for(int i=1;i<=N;i++)
 92 
 93         {
 94 
 95             scanf("%d%d",&a,&b);
 96 
 97             tree.add(a,1);
 98 
 99             tree.add(b+1,-1);
100 
101         }
102 
103         for(int i=1;i<=N;i++)
104 
105         {
106 
107             if(i!=1) cout<<" ";
108 
109             printf("%d",tree.sum(i));
110 
111         }
112 
113         cout<<endl;
114 
115     }
116 
117     return 0;
118 
119 }
120 
121

View Code

再看一道二維的

Hdu1892

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1892

跟一維主要的區別

 1 void init()
 2 
 3 {
 4 
 5     for(int i=1;i<MAX;i++)
 6 
 7         for(int j=1;j<MAX;j++)
 8 
 9         {
10 
11             d[i][j]=1;
12 
13             c[i][j]=lowbit(i)*lowbit(j);
14 
15         }
16 
17 }
18 
19 int sum(int i,int j)
20 
21 {
22 
23     int tot=0;
24 
25     for(int x=i;x>0;x-=lowbit(x))
26 
27         for(int y=j;y>0;y-=lowbit(y))
28 
29         {
30 
31             tot+=c[x][y];
32 
33         }
34 
35     return tot;
36 
37 }
38 
39 void add(int i,int j,int v)
40 
41 {
42 
43     for(int x=i;x<MAX;x+=lowbit(x))
44 
45         for(int y=j;y<MAX;y+=lowbit(y))
46 
47         {
48 
49             c[x][y]+=v;
50 
51         }
52 
53 }

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