計算機組成原理 - 定點整數的原碼補碼運算（待驗證）
〇、環境
| 對象 | 運算 |
|---|---|
| 定點整數原碼、定點整數補碼 | 移位、加、減、乘、除 |
原碼定義：
\(x=\begin{cases} x &0\le x < 2^{n} \\2^{n}-x &-2^{n} < x \le 0 \end{cases}\)
其中，n為x的位數，最終原碼有n+1位。
定義分析：當真值為正時，原碼即為真值的二進制形式，但是在二進制最高位添加一個0作為符號位（定義沒有體現）。當真值為負時，去掉原碼二進制形式的負號，在二進制最高位添加一個1作為符號位。
伸展和收縮：由定義分析可知，x寬度變化時，非符號部分添加或移除高位0（也即整數的二進制形式調整寬度），符號部分不變。在形式上，無論正負，都是在最高位新增或移除0。
例0-1 求\(11_b\)的8位原碼表示
解：為011，擴展到8位為0000 0011。
例0-2 求\(-11_b\)的8位原碼表示
解：100-(-11)=111，擴展到8位為0000 0111。
補碼定義：
\(x=\begin{cases} x &0\le x < 2^n \\2^{n+1}+x &-2^n \le x < 0 \end{cases}\)
其中n為x的位數，最終有n+1位（去掉一定為0的最高位）。
定義分析：當真值為正時，保留真值的二進制形式，並在最高位添加一個0作為符號位。當真值為負時，則與10...0(共n+2位)相加，聯系反碼的特點，即將真值負號移除后每位取反，然后加1，然后最高位添加1作為符號位。
伸展與收縮：由定義分析，當真值為正時，則和原碼一致，添加0即可。當為負時，擴展添0，取反后則為添1，加1時不會影響擴展位（因為負值的二進制形式必不全為0），最后保持符號位不變。形式上，正值在最高位添加和刪除0，負值擴在最高位添加和刪除1。
例0-3 求11的8位補碼表示
解：為011，擴展到8位為0000 0011。
例0-4 求-11的8位補碼表示
解：為1000-11=0101，即101，擴展到8位為1111 1101。
還可以利用性質來求：^11=00，00+1=01，添加符號位即101。
一、移位運算
移位的數學意義為乘2和除2。
1.算術移位
識別符號的移位，符號位不變。
| 編碼 | 機器數（真值） | 算術左移（真值） | 算術右移（真值） |
|---|---|---|---|
| 原碼 | 0001(1) | 0010(2) | 0000(0) |
| 原碼 | 0100(4) | 0000(0) | 0010(2) |
| 原碼 | 1001(-1) | 1010(-2) | 1000(-0) |
| 原碼 | 1100(-4) | 1000(-0) | 1010(-2) |
| 補碼 | 1001(-7) | 1010(-6) | 1100(-4) |
| 補碼 | 1100(-4) | 1000(-8) | 1010(-6) |
2.邏輯移位
不識別符號的移位。
3.移位總結
對於原碼和補碼，算術移位和邏輯移位，左移和右移，僅有負數的補碼形式在右移時填充1，其余均為填0。
對於正數、原碼負數，左移掉1則引起錯誤，右移掉1則引起偏差。
對於補碼負數，左移掉0則引起錯誤，右移掉0則引起偏差。
二、加法和減法
1.原碼加、減法
直接根據符號位進行加減即可。將符號位提取出來，然后轉換成“正值+正值”或者“正值-正值”的形式。
| 參數1（真值） | 參數2（真值） | 運算 | 結果（真值） |
|---|---|---|---|
| 0100(4) | 0001(1) | + | 0101(5) |
| 0100(4) | 1001(-1) | + | 0011(3) |
2.補碼加法
若有 \(A>0,B>0\) ， 則
\([A]_補=A,[B]_補=B，\)即 \([A]_補+[B]_補=A+B=[A+B]_補\)。
若有 \(A>0,B<0\) ，則
\([A]_補=A,[B]_補=2^{n+1}+B,[A+B]_補=(A+B)或2^{n+1}+(A+B)\) ，即 \([A]_補+[B]_補=[A+B]_補(mod\space2^{n+1})\)
其它情況類似，不重復。
即補碼加法公式：
公式說明：
右邊的加法為二進制加法，不考慮符號位。相加后去掉溢出位，即得到補碼加法的結果（當然也是補碼形式）。也即兩個真值的補碼直接相加即得兩個真值的和的補碼（寬度不變）。
例2.2-1 計算 \(0001_補+1111_補\) 。
解：\(0001+1111=1,0000\)，去掉溢出位，即結果為 \(0000\) 。
例2.2-2 計算 \(1111_補+1110_補\) 。
解：\(1111+1110=11101\)，去掉溢出位，即結果為 \(1101\)
3.補碼減法
將減法轉換為加法進行運算。
因為 \(A-B=A+(-B)，（B>0）\) ，
即 \([A-B]_補=[A+(-B)]_補\) ，
即補碼的減法公式 $$[A-B]_補=[A]_補 + [-B]_補\space(mod\space 2^{n+1})$$
其中 \([-B]_補=\text{\textasciicircum}[B]_補+1\) 。^表示按位取反。
例2.3-1 計算 \(1111_補-0001_補\) 。
解：\(\text{\textasciicircum}[0001]+1=1110+1=1111，故1111-0001=1111+1111=11110\) ，去掉溢出位，結果為\(1110\)。
三、乘法
1.原碼乘法
將符號位分離，單獨計算正值的乘法，最后將符號計算並賦予結果。
正值的乘法和十進制乘法基本一致，在邏輯上表現為部分積累加並移位。
例3.1-1 計算 \(0011_原\times0010_原\) 。
解：直觀結果為3x2=6=0110。
原碼乘法計算過程：
例3.1-2 計算 \(0111_原\times0111_原\) 。
解：直觀結果為7x7=49=00110001。
原碼乘法計算過程：
2.補碼乘法
先討論補碼乘法乘數為正的情況。
對 \([X]_補\times[Y]_補\) ，假設 \(Y>0\) ，則有
\([X]_補=2^{n+1}+X\space(mod\space 2^{n+1}),[Y]_補=Y\)
\([X]_補\times[Y]_補=(2^{n+1}+X)\cdot Y\space(mod\space2^{n+1}) \\=X\cdot Y\space(mod\space2^{n+1}) \\=[X\cdot Y]_補\space(mod\space2^{n+1})\)
這說明，當 \(Y\) 為正時，補碼的乘法即為各自補碼直接二進制乘法的結果（去除溢出位）。
例3.2-1 計算 \(1111_補\times0011_補\) 。
解：直觀結果為(-1)x(3)=-3=1101。\[\begin{aligned} &1111 \\\times\space&0011 \\&1111 \\1&111 \\=\space10&1101 \end{aligned} \]去除溢出位即為 \(1101\)
再討論乘數為負的情況。
此時有 \([Y]_補=2^{n+1}+Y\) ，也即 \(Y=[Y]_補-2^{n+1}\) 。
即 \(X\cdot Y=X\cdot ([Y]_補-2^{n+1})\) 。
記 \([Y]_補=1y_1y_2...y_n=0y_1y_2...y_n+2^n\) 。
則 \(X\cdot Y=X\cdot(0y_1y_2...y_n-2^{n}) \\=X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n\) 。
即 \([X\cdot Y]_補=[X\cdot 0y_1y_2...y_n-X\cdot 2^n]_補\)
由補碼減法公式，分解右式，有
\([X\cdot Y]_補=[X\cdot 0y_1y_2...y_n]_補+[-X\cdot 2^n]_補\space(mod\space2^{n+1})\)
記 \(X=x_1x_2...x_n\) ，則 \([-X\cdot 2^n]_補=[-x_1x_2...x_n0_10_2...0_n]_補 \\=1\text{\textasciicircum}(x_1x_2...x_n)1_11_2...1_n+1 \\=x_n0_10_2...0_n \\=x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)
\(0.y_1y_2...y_n\) 是一個補碼形式的正數，可應用補碼正乘數規律進行分解。故
\([X\cdot Y]_補=[X]_補\cdot 0y_1y_2...y_n+x_n\times2^n\space(mod\space2^{n+1})\)
也即如果乘數為負，則將乘數去掉符號位與被乘數二進制相乘，然后加上 \(x_n\times2^n\) 即得乘積的補碼。
例3.2-2 計算 \(0011_補\times1110_補\) 的8位補碼表示
解：直觀結果為 \(3\times(-2)=-6=1010\)
解法：
\(x_n\times2^n\)=1000\[\begin{aligned} &0011 \\\times\space&0110 \\0&011 \\00&11 \\=\space01&0010 \\+\space&1000 \\=\space01&1010 \end{aligned} \]保留4位為 \(1010\)，擴展到8位為 \(1111\space1010\)。
例3.2-3 計算 \(1110_補\times 1110_補\) 的8位補碼表示
解：直觀結果為 \(-2\times-2=4=0100=0000,0100\)
解法：
\(x_n\times2^n=0\)\[\begin{aligned} &1110 \\\times\space&0110 \\1&110 \\11&10 \\=\space101&0100 \\+\space&0000 \\=\space101&0100 \end{aligned} \]保留4位為0100，擴展到8位為 \(0000,0100\) 。
總結：
記 \(Y=y_0y_1y_2...y_n\)，則可以簡化為