數字調制技術原理

3-1 基帶數字信號傳輸

1. 基帶數字信號的碼型

格雷碼轉換為普通二進制碼：

\[b_{n-1} = g_{n-1}\\ b_i-g_{n-1}\oplus g_{n-1}\oplus\cdots\oplus g_i,0\le i\le n-2 \]

普通二進制碼轉格雷碼：

\[g_{n-1}= b_{n-1}\\ g_i = b_{i+1}\oplus b_i, 0\le i\le n-2 \]

采用格雷碼可以減小平均誤碼率，因為最容易發生差錯的是相鄰兩個電平。

對於碼元寬度為 \(T_b\) 的不歸零碼來說，其有效帶寬為

\[B_{s} = \frac1{T_b} \]

2. 基帶數字信號的傳輸性能

由於傳輸頻帶有限，數字信號會由於脈沖失真而產生拖尾現象，對鄰近的碼元信號產生碼間干擾。

不產生碼間干擾的條件

為了不產生碼間干擾，傳輸信道的等效傳遞函數需要滿足：

\[G_{R,eq}(\omega) = \begin{cases}C,|\omega|<\dfrac{\pi}{T_b}\\ 0,|\omega| <\dfrac{\pi}{T_b}\end{cases} \]

理想的低通傳輸特性

仔細觀察上述等效傳遞函數可以發現其很像一個低通濾波器。

理想的低通濾波器的傅立葉變換為

\[H_1(\omega) = T_be^{-j\omega t_d},|\omega|<\frac\pi{T_b} \]

當輸入單位沖激函數時，輸出即為其逆傅立葉變換

\[h_1(t) = S_a\left[\frac\pi{T_b}(t-t_d)\right] \]

\(S_a\)為正弦積分函數

上述沖激響應的零點可由下式確定

\[\frac\pi{T_b}(t-t_d) = N,N=\pm1,\pm2,\cdots \]

所以，如果每隔 \(T_b\) 進行采樣判決，就可以正確地區分各信號碼元。

碼元傳輸速率為 \(R_b = \frac1{T_b}\)

而低通濾波器的截止頻率為 \(\displaystyle{\frac\pi{T_b}}\)，等效的頻帶寬度為 \(\displaystyle{B_1=\frac1{2T_b}}\)

因此在理想低通濾波器下的頻帶利用率為

\[\eta = \frac{R_b}{B_1} = 2\mathrm{bit/(s\cdot Hz)} \]

這個也是能夠達到的數字信號傳輸的極限性能。

升余弦滾降的低通傳輸特性

但理想低通特性在物理上是不可實現的，即使可以得到相當逼近的理想特性，對於采樣判決的定時精度要求也很高。因此需要進行修正。

將傳遞函數的頻域特性從矩形改為中間凸兩邊凹的形狀有助於改善，這樣的圖形說明不在 \(T_b\) 的整倍時間內的輸入的響應會很快衰減下去，不至於造成碼間干擾。

但是，升余弦滾降的傳輸特性是以增加傳輸頻道寬度為代價的，升余弦滾降的頻帶寬度為 \(B_2 =\frac1{T_b}\)。

為了說明滾降以后的頻帶寬度，可以導入滾降系數 \(\alpha\)，它是超出矩形特性的部分頻帶與理想帶寬 \(B_1\) 之比。滾降系數越小，則波形振盪起伏越大，但傳輸帶寬越小；滾降系數越大，則波形越平緩，傳輸帶寬要增加。

作為兩個極端情況，\(\alpha = 0\) 即為理想低通濾波器，\(\alpha=1\) 即為升余弦低通。當 \(0<\alpha<1\)，頻帶利用率為

\[\eta_B = \frac2{1+\alpha} \]

3. 基帶數字信號的誤碼性能

碼間干擾和噪聲干擾是造成誤碼的兩個主要原因。

誤碼率的計算

設 \(v_b\) 為判決門限，當接收端的采樣值大於判決門限時便判斷為1。

則平均誤碼率為

\[P_e = P_{Se}+P_{Me} = P(s_0)P(y\ge v_b|s_0)+P(s_1)P(y<v_b|s_1) \]

通常將高斯分布的白噪聲作為信道噪聲。設高斯噪聲的均值為0，方差為 \(\sigma_n^2\)（表示噪聲的平均功率）其一維概率密度函數為

\[p(z) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left(-\frac{z^2}{2\sigma_n^2}\right) \]

假定在接收端一個采樣點上的信號幅度分別為 \(A_1\) 或 \(A_0\)，則發送“1”碼和“0”碼時混噪信號的一維概率密度為

\[p_1(y) =\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left[-\frac{(y-A_1)^2}{2\sigma_n^2}\right]\\ p_0(y) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp\left[-\frac{(y-A_0)^2}{2\sigma_n^2}\right] \]

則平均誤碼率為

\[P_e = \frac12\int_{v_b}^\infty p_0(y)\mathrm dy+\frac12\int_{-\infty}^{v_b}p_1(y)\mathrm dy \]

最佳判決門限

不難球的最佳門限為

\[v_{b0} = \frac{A_0+A_1}2 \]

當傳輸衰減發生變化時，單極性碼難以保持判決門限為最佳值，而雙極性碼總是可以保持為零。這也是雙極性碼優於單極性碼的原因之一。

在最佳門限條件下，可能得到的最小平均誤碼率為

\[P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\frac A{2\sqrt2\sigma_n}) \]

\(\mathrm{erfc}\) 為互補誤差函數，當自變量 \(x\ge4\) 時，

\[\mathrm{erfc}(x_0)\approx \frac1{\sqrt\pi x_0}e^{-x_0^2} \]

單極性碼的平均功率信噪比為

\[r_S = \frac{A^2}{2\sigma_n^2} \]

雙極性碼的平均功率信噪比為

\[r_D = \frac{A^2}{4\sigma_n^2} \]

3-2 二元數字調制

二元數字調制基本上有幅移鍵控（ASK）、頻移鍵控（FSK）和相移鍵控（PSK）三種方式。這里的S是 shift的意思。

3.2.1 ASK信號的傳輸性能

1. ASK信號的調制

輸入的隨機數字序列為

\[x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_kg(t-kT_b) \]

\(T_b\) 表示碼元寬度，\(g(t)\) 是歸一化的不歸零矩形脈沖波形，即 \(g(0) =1\)；隨機變量 \(a_k\) 只能取“0”或“1”，且兩者概率相等。

載波信號為

\[c(t) = A\cos\omega_0t \]

假設碼元寬度 \(T_b\) 是載波周期 \(T_0=2\pi/\omega_0\) 的整數倍。

則調制后的信號為

\[S_{\mathrm{ASK}}(t) = \left[\sum_{k=-\infty}^\infty a_kg(t-kT_b)\right]\cdot A\cos\omega_0t \]

從這里我們就可以看出幅移鍵控的真正含義，在 \(t_i\) 時刻取值的輸入信號需要乘上一個 \(A\cos\omega_0t_i\)，從而使得輸出的幅度變得與時間相關，具有了頻移的效果。

隨機數字序列乘上載波以后，已調信號的頻譜將把隨機信號的功率譜搬移到載波頻率 \(f_0(f_0 = 2\pi/\omega_0)\) 處，同時其幅度乘以1/4。

ASK信號的有效頻帶寬度是不歸零矩形脈沖功率譜零點寬度的2倍，即

\[B_{\mathrm{ASK}} = 2\cdot\frac1{T_b} = 2R_b \]

2. ASK信號的解調

a. 相干解調

接收端經中心頻率為 \(\omega_0\) 的帶通濾波器選擇出ASK信號，與本地相干載波 \(c'(t)\) 相乘，經低通濾波器濾除 \(2\omega_0\) 的高頻成分后，解調出來的信號再經采樣判決，恢復出隨機數字序列。

這里要求接收端的相干波 \(c'(t)\) 和發送端的載波 \(c(t)\) 為同頻同相關系。

\[S_{\mathrm{ASK}}(t)c'(t) = \begin{cases}A\cos\omega_0t\cdot2\cos\omega_0t = A(1+\cos2\omega_0t)\quad傳號\\0\quad空號 \end{cases} \]

b. 非相干解調

3. ASK信號的誤碼性能

在前面我們知道了誤碼率 \(P_e\) 包括漏報概率 \(P_{\mathrm{Me}}\) 和虛報概率 \(P_{\mathrm{Se}}\) 兩項，當判決門限為 \(v_b\) 時，誤碼率計算公式為

\[P_{\mathrm{e}} = \frac12\int_{-\infty}^{v_b}p_1(y)\mathrm dy+\frac12\int_{v_b}^\infty p_0(y)\mathrm dy \]

a. 相干解調時的誤碼率

最佳判決門限為

\[v_{b0} = \frac A2 \]

誤碼率

\[P_{\mathrm e} = \frac12\mathrm{erfc}(\frac{\sqrt r}2) \]

信噪比

\[r = \frac{A^2}{2\sigma^2} \]

b. 非相干解調時的誤碼率

當功率信噪比 \(r = \frac{A^2}{2\sigma_n^2}\) 遠大於1時，

\[v_{b0} \approx \frac A2\\ P_e\approx \frac12e^{-\frac r4} \]

3.2.2 FSK 信號的傳輸性能

用二元碼來鍵控載波的頻率，稱為頻移鍵控。

相位不連續的頻移鍵控信號

由單極性不歸零矩形碼對兩個獨立的載頻振盪器進行鍵控，可以產生相位不連續的 FSK 信號。

\[S_{\mathrm{FSK}}(t) = \begin{cases}A\cos(\omega_2t+\theta_2),\quad傳號\\A\cos(\omega_1t+\theta_1),\quad空號 \end{cases} \]

\(\theta_1\)和\(\theta_2\) 是均勻分布在 \((-\pi,\pi)\) 的隨機變量。

有一張圖可以很好的描述頻移鍵控的原理

FSK 信號的頻帶寬度為

\[B_{\mathrm{FSK}} = (5～7)R_b \]

FSK 的誤碼性能

1）相位不連續的FSK信號的誤碼性能

注：一般這里討論的都是最佳判決門限下的誤碼性能。

相干解調時

\[P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{\frac r2})\approx \frac1{\sqrt{2\pi r}}e^{-r/2} \]

非相干解調時

\[P_e = \frac12e^{-r/2} \]

3.2.3 PSK信號的傳輸性能

以雙極性不歸零碼對載波相位進行鍵控，就可以得到相移鍵控信號。PSK信號是相位不連續的恆包絡波形。

\[S_{\mathrm{PSK}}(t) =\begin{cases} S_1(t) = A\cos\omega_0 t\quad 傳號\\ S_0(t) = A\cos(\omega_0t+\pi)\quad 空號 \end{cases} \]

這一類信號的相位與“傳號”和“空號”唯一地對應着，因此被稱為絕對相移鍵控。另一類相對相移鍵控（差分相移鍵控，DPSK）的載波相位還會由前一個碼元的載波相位與本碼元的信號來共同決定。

如果是傳號，則改變前一個波的相位；如果是空號，則保持相位。

相移鍵控信號的有效頻帶寬度與ASK信號相同，頻帶利用率也為 \(\displaystyle{\frac12\mathrm{bit/(s\cdot Hz)}}\)

PSK的誤碼性能

\[P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r) \]

DPSK的誤碼性能

采樣相干解調

\[P_e' \approx 2P_e = \mathrm{efrc}(\sqrt r) \]

采樣差分相干解調

\[P_e = \frac12e^{-r} \]

3.2.4 三種調制方式的誤碼率總結

調制類型	接收方式	誤碼率	調制類型	接收方式	誤碼率
ASK	相干	\(\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{r}/2)\)	PSK	相干	\(\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r)\)
	非相干	\(\frac12 e^{-r/4}\)
FSK	相干	\(\frac12\mathrm{erfc}(\sqrt{r/2})\)	DPSK	相干	\(\mathrm{erfc}(\sqrt r)\)
	非相干	\(\frac12e^{-r/2}\)		差分相干	\(\frac12e^{-r}\)

3.3 Multiple Digital Modulation

3.3.1 MASK

與ASK非常相似，只需要將ASK中只能取 0 和 1 的隨機變量 \(a_k\) 改為多電平隨機變量。通常取 \(M = 2^k\)

平均信號功率為 \(\displaystyle{\frac{M^2-1}3\cdot \frac{A^2}4}\)

頻帶利用率

相比於ASK信號，MASK信號僅僅因為幅度傳輸了多元的信息而提高了頻帶利用率，因此頻帶利用率為

\[\eta_{\mathrm{MASK}} = \frac{R_B}{B_{\mathrm{MASK}}} = \frac{R_b}{B_{\mathrm{ASK}}}\cdot\mathrm{lb}M \]

即相比於ASK信號提升了 \(\mathrm{lb}M\) 倍。

誤碼性能

采樣相干解調

接收端需要設置 (M-1) 個判決電平，假設它們都設在兩個相鄰信號電平中間

\[P_e = \frac{M-1}M\mathrm{erfc}\left(\frac12\sqrt{\frac3{M^2-1}r_M}\right) \]

3.3.2 MFSK

頻帶利用率

MFSK可以理解為M個振幅相同、載頻不同、時間上不相容的二元幅移鍵控信號的疊加。

設 \(2R'_B\) 為兩個相鄰ASK信號的載頻之差。則MFSK信號的頻帶寬度為

\[B_{\mathrm{MFSK}} = f_M-f_1+2R_B' \]

同時 \(R_B'\) 還表示碼元的傳輸速率 \(\displaystyle{R_B'=\frac1{T_b'}}\)，\(T_b'\) 表示碼元寬度。

當頻帶利用率最佳時，這M個ASK信號在頻域上剛好互不重疊。此時頻帶寬度和帶寬利用率為

\[B_{\mathrm{MFSK}} = 2MR_B'\\ \eta_{B_{\mathrm{MFSK}}} = \frac{\mathrm{lb}M}{2M} \]

誤碼性能

不管是采樣包絡檢測還是相干解調，MFSK的誤碼率都是FSK的 \((M-1)\) 倍。

3.3.3 MPSK

MPSK信號由 M 個均勻相移的等幅同頻載波構成。

\[S_{\mathrm{MPSK}}(t) = A\cos(\omega_0t+\theta_i),i=0,1,\cdots,M-1 \]

相位 \(\theta_i\) 可以是相移 \(\displaystyle{\frac M\pi}\) 的奇數倍或者偶數倍。

頻帶寬度

\[B = 2R_b \]

因此，可以把MPSK信號看成M個幅度和頻率相同、初相不同的PSK信號之和，因此信息傳輸速率為PSK信號的 \(\mathrm{lb}M\) 倍，頻帶利用率也提高了 \(\mathrm{lb}M\) 倍。

頻帶利用率

\[\eta_{\mathrm{MPSK}} = \frac{R_B}{B_{\mathrm{MPSK}}} = \frac{R_b}{B_{\mathrm{PSK}}}\cdot\mathrm{lb}M \]

誤碼性能

合成波形的相位在 \(\displaystyle{-\frac{\pi}M～\frac\pi M}\) 內變化，則不會發生錯誤判決。

\[P_e = \frac12\mathrm{erfc}(\sqrt r\sin\frac\pi M) \]

3.3.4 多種多元調制方法的優劣比較

以頻帶利用率來比較，MFSK最差，其他兩個一致；

誤碼性能來比較，MASK中以雙極性碼相干解調為最佳；

3-5 多元正交調幅

正交調幅(QAM)是將兩個獨立的雙極性、不歸零基帶序列分別對兩個互相正交的同頻載波進行抑制載波的雙邊帶調制。因為在頻譜上具有正交性，因此在頻域上很容易進行分離 。

在輸入一組數據后，將這組數據的奇數位碼元，送入A路，與載波 \(\cos\omega_0t\) 相乘后具有 \(0\) 和 \(\pi\) 兩個相位；將這組數據的偶數位碼元，送入B路，與載波 \(\sin\omega_0t\) 相乘后具有 \(\displaystyle{\pm\frac{\pi}2}\) 兩個相位。

頻帶寬度

\[B_{\mathrm{QAM}} = 2R'_b = 2\frac1{T_b'} \]

多元正交調幅（MQAM）

多元正交調幅是一種綜合了調幅和調相的調制方式。將多進制數字通過格雷碼進行二進制編碼之后，確定一個星座圖。星座圖任意兩點間的歐氏距離的最小值決定了誤碼性能。像16PSK信號具有和16QAM同樣的頻帶利用率，但是在信號圖上的最小距離小於16QAM.