gfsk調制原理

1. FSK調制原理

我們知道FSK的調制的時域表達式為：

\[s(t)=cos(2\pi(f_c+I_nf_d)t) \tag{1.1} \]

其中\(I_n=\pm 1, \pm3, \cdots, \pm(M-1)\)為數字映射信息，\(f_d\)為載波調制頻率偏移量。FSK調制通過\(I_nf_d\)來傳達要傳輸的數字信息，但是在FSK調制連續數字信息時，頻率的突發式切換帶來了載波相位的不連續性，導致調制信號頻譜旁瓣過大，頻譜利用率低。所以后來提出了連續相位頻移鍵控(Continuous Phase Frequency Shift Keying, CPFSK)。
為了表示CPFSK信號，以PAM信號：

\[d(t)=\sum_{n}I_{n}g(t-nT) \tag{1.2} \]

開始，式中\(I_{n}\)表示幅度序列，它是由信息序列\({a_{n}}\)來的\(k\)比特二進制數字組映射到幅度電平\(I_{n} = \pm 1, \pm 3, \cdots, \pm(M-1)\)得到的。而\(g(t)\)是一個幅度為 \(1/2T\) 且持續時間為\(T\)秒的矩形脈沖。信號\(d(t)\)用來對載波進行頻率調制，調制之后的載波信號可以表示為：

\[s(t)=Acos[2\pi f_{c}t+\phi(t,I)+\phi_{0}] \tag{1.3} \]

其中，\(f_{c}\)表示載波頻率，\(\phi_{0}\)表示載波的初始相位，\(\phi(t,I)\)為載波隨時間變化所對應的相位，可以表示為：

\[\phi(t;I)=4\pi f_{d}T\int_{-\infty}^{t}d(\tau)d\tau=4\pi f_{d}T\int_{-\infty}^{t}[\sum_{n}I_{n}g(\tau-nT)]d\tau \tag{1.4} \]

式中\(f_{d}\)表示峰值頻率偏移，\(d(t)\)信號是不連續的，但是其積分是連續的(注，式中的"\(4\)"單純是為了后續的計算方便添加的，因為可以把矩形脈沖幅度里面的1/2抵消掉，然后恰好可以把"\(4\pi\)"變成"\(2\pi\)"，使之能夠滿足角頻率與頻率的轉換關系)。所以載波的相位變化是連續的，調制后載波信號的相位在時間區間\([nT,(n+1)T]\) 可以表示為：

\[\begin{aligned} \phi(t;I)&=2\pi f_{d}T\sum_{k=-\infty}^{n-1}I_{k}+2\pi f_{d}q(t-nT)I_{n} \\ &=\theta_{n}+2\pi h I_{n}q(t-nT) \end{aligned} \tag{1.5} \]

式中，\(h\)表示調制指數，調制指數越大，調制后的兩個載波頻率差值越大；\(\theta_{n}\)是時間區間\([0,(n-1)T]\)內的累積相位，\(q(t)\)為相位響應函數，是頻率成形濾波器\(g_{T}(t)\)的積分，它們可以表示為：

\[h=2f_{d}T \tag{1.6} \]

\[\theta_{n} = \pi h \sum_{k=-\infty}^{n-1} I_{k} \tag{1.7} \]

\[q(t) = \left \{\begin{aligned} &0, t \le 0 \\ &t/2T, 0<t<T \\ &1/2, t>T \end{aligned} \right. \tag{1.8} \]

\[q(t)=\int_{0}^{1}g_{T}(\tau)d\tau \tag{1.9} \]

CPFSK調制是用將要發送的基帶數據控制一個單一頻率的載波，載波的相位變化是連續的，有效地抑制了頻譜旁瓣，調制后信號的帶寬變窄。

2. GFSK調制原理

為了進一步降低CPFSK調制信號的頻譜旁瓣，首先要對發送的二進制信號映射的矩形脈沖進行高斯低通濾波，然后將濾波后的信號進行載波調制，這種調制技術稱為GFSK。GFSK調制信號的包絡恆幅、功率譜集中、抗干擾能力強，同時GFSK調制技術實現簡單，在低速率設備以及低成本無線傳感網絡中，應用廣泛。

高斯濾波器的帶寬影響着GFSK調制信號的頻譜，所以高斯濾波器的3dB帶寬和二進制碼元周期T的乘積BT是高斯濾波器的主要參數，BT取值越小，脈沖響應持續的時間越長，在實際設計中，通常將脈沖響應的持續時間根據需要進行截斷，以便數字電路實現。

高斯濾波器的沖激響應表達式為：

\[h(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma T}e^{\frac{-t^{2}}{2\sigma^{2}T^{2}}} \tag{2.1} \]

式中

\[\sigma = \sqrt{ln(2)}/2\pi BT \tag{2.2} \]

假設輸入信號\(x(t)\)是要發送的二進制數據所對應的雙極性方波，雙極性方波經過高斯濾波器后的輸出為：

\[g(t)=h(t)\otimes m(t;T) \tag{2.3} \]

上式中，矩形脈沖定義為：

\[m(t;T)= \left \{ \begin{aligned} & 1/T, |t|<t/2 \\ & 0, \text{otherwise} \end{aligned} \right. \tag{2.4} \]

經過推導得出表達式：

\[g(t)=\frac{1}{2T}[Q(2\pi BT\frac{t-T/2}{T\sqrt{ln(2)}})-Q(2\pi BT\frac{t+T/2}{T\sqrt{ln(2)}})] \tag{2.5} \]

式中，Q函數為：

\[Q(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{t}^{\infty}e^{-\frac{\tau^{2}}{2}}d\tau \tag{2.6} \]

假設序列x(n)是對輸入信號x(t)的離散時間采樣，是雙極性不歸零碼，則GFSK調制后信號的相位表達式為：

\[\theta(t) = 2\pi h \int_{-\infty}^{t}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]g(\tau-nT)d\tau \tag{2.7} \]

GFSK調制信號在載波頻率為\(f_{c}\)時的表達式為：

\[s(t) = \sqrt{\frac{2E_{b}}{T}}cos[2\pi f_{c}t+\theta(t)+\phi_{0}] \tag{2.8} \]

總結：其實GFSK是在CPFSK的基礎上對矩形脈沖進行了高斯濾波。從最后的結果來看其實就是將卷積矩形脈沖修改為卷積“矩形脈沖經過高斯濾波器之后的脈沖”。

3. GFSK的MATLAB代碼實現

首先實現“經過高斯濾波的矩形脈沖”，也即是式\((2.5)\)中的\(g(t)\)。

function [Gaussian_filter_q] = Gaussian_filter(B, symb_rate, delay, ts)
% INPUTS:
%   B         : the 3dB bandwidth of Gaussian filter
%   symb_rate : rate of the symbol, in ble it is 1e6 symbol/s
%   delay     : it controls how many symbols the Gaussian filter cover
%   ts        : the reciprocal of sample rate
  symb_T  = 1 / symb_rate;
  Gau_t   = -delay*symb_T:ts:delay*symb_T;
  K       = 2*pi*B / sqrt(log(2));
  Gau_det = K.*(Gau_t - symb_T / 2);
  Gau_sum = K.*(Gau_t + symb_T / 2);
  Gaussian_filter_q = 1/(2*symb_T)*[qfunc(Gau_det)-qfunc(Gau_sum)];
end

然后設定參數進行測試：

clear
clc

h = 0.5 ; % the modulation index h = 2f_{d}T
sample_rate = 26e6; % the sample rate
sample_time = 1/sample_rate;
symbol_rate = 1e6;
oversample = sample_rate / symbol_rate;
B = 0.5e6; % the 3db bandwidth is 500Mhz
delay = 1.5 % the gaussian filter covers 3 symbol
tx_bits = [1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,0,1]; % the transmit bits

Gaussian_filter_coeff = Gaussian_filter(B, symbol_rate, delay, sample_time);
tx_data = 2*tx_bits - 1; % NRZ code
tx_data_sample = upsample(tx_data, oversample);
tx_data_filtered = 2*pi*h*conv(Gaussian_filter_coeff,tx_data_sample);

tx_phase = sample_time*cumsum(tx_data_filterd);
tx_cos = cos(tx_phase);
tx_sin = sin(tx_phase);

tx_gfsk = complex(tx_cos,tx_sin);

plot(tx_cos); 
hold on 
plot(tx_sin);
hold off

最終波形如下：

The gfsk wave.