摘要：在游戲中，只需要鼠標輕輕的一點，系統會立即尋找離角色最近的一條路線。這背后的行為邏輯又有什么奧秘呢？
作者：JohnserfSeed
在游戲中，當我們需要讓角色移動到指定位置時，只需要鼠標輕輕的一點就可以完成這簡單的步驟，系統會立即尋找離角色最近的一條路線。
可是，這背后的行為邏輯又有什么奧秘呢？ 你會怎么寫這個尋路算法呢？
一般我們遇到這種路徑搜索問題，大家首先可以想到的是廣度優先搜索算法(Breadth First Search)、還有深度優先(Depth First Search)、弗洛伊德（Floyd）、迪傑斯特拉(Dij)等等這些非常著名的路徑搜索算法，但是在絕大多數情況下這些算法面臨的缺點就暴露了出來：時間復雜度比較高。
所以，大部分環境里我們用到的是一個名叫A* (A star)的搜索算法
說到最短路徑呢，我們就不得不提到廣度優先遍歷（BFS），它是一個萬能算法，它不單單可以用在 尋路或者搜索的問題上。windows的系統工具：畫板 中的油漆桶就是其比較典型一個的例子。
這里對路徑搜索做一個比較簡潔的示例
假設我們是在一個網格上面進行最短路徑的搜索
我們只能上下左右移動，不可以穿越障礙物。算法的目的是為了能讓你尋找到一條從起點到站點的最短路徑
假設每次都可以上下左右朝4個方向進行移動
算法在每一輪遍歷后會標記這一輪探索過的方塊稱為邊界（Frontier）,就是這些綠色的方塊。
然后算法呢會循環往復的從這些邊界方塊開始，朝他們上下左右四個方向進行探索，直到算法遍歷到了終點方塊才會停止。而最短路徑呢就是算法之前一次探索過的路徑。為了得到算法探索過的整條路徑呢，我們可以在搜索的過程中順勢記錄下路徑的來向。
比如這里方塊上的白色箭頭就代表了之前方塊的位置
在每一次探索路徑的時候，我們要做的也只是額外的記錄下這個信息
要注意，所有探索過的路徑我們需要將它們標記成灰色，代表它們“已經被訪問過“，這樣子算法就不會重復探索已經走過的路徑了。
廣度優先算法顯然可以幫助我們找到最短路徑,不過呢它有點傻,因為它對路徑的尋找是沒有方向性的，它會向各個方向探測過去。
最壞的情況可能是找到終點需要遍歷整個地圖，因此很不智能，我們需要一個更加高效的算法。
就是本次我們要介紹的A * （A star）搜索算法
A* Search Algorithm
”A*搜索算法“也被叫做“啟發式搜索”
與廣度優先不同的是，我們在每一輪循環的時候不會去探索所有的邊界方塊（Frontier），而會去選擇當前“代價（cost）”最低的方塊進行探索。
這里的“代價”就很有意思了，也是A*算法智能的地方。
我們可以把這里的代價分成兩部分，一部分是“當前路程代價（可表示成f-cost）”：比如你從起點出發一共走過多少個格子，f-cost就是幾。
另一部分是“預估代價（可表示成g-cost）”：用來表示從當前方塊到再終點方塊大概需要多少步，預估預估所以它不是一個精確的數值，也不代表從當前位置出發就一定會走那么遠的距離，不過我們會用這個估計值來指導算法去優先搜索更有希望的路徑。
最常用到的“預估代價”有歐拉距離（Euler Distance）“，就是兩點之間的直線距離(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2
當然還有更容易計算的“曼哈頓距離（Manhattan Distance）”，就是兩點在豎直方向和水平方向上的距離總和|x1 - x2|+|y1 - y 2|
曼哈頓距離不用開方，速度快，所以在A* 算法中我們可以用它來充當g-cost。
接下來，我們只要把之前講到的這兩個代價相加就得出了總代價：f-cost + g-cost。
然后在探索方塊中，優先挑選總代價最低的方塊進行探索，這樣子就會少走很多彎路
而且搜索到的路徑也一定是最短路徑。
在第一輪循環中，算法對起點周圍的四個方塊進行探索，並計算出“當前代價”和“預估代價”。
比如這里的1代表從起步到當前方塊走了1步
這里的4代表着方塊到終點的曼哈頓距離，在這四個邊界方塊中，右邊方塊代價最低，因此在下一輪循環中會優先對它進行搜尋
在下一輪循環中，我們已同樣的方式計算出方塊的代價，發現最右邊的方塊價值依然最低，因此在下一輪的循環中，我們對它進行搜尋
算法就這樣子循環往復下去，直到搜尋到終點為止
增加一下方塊的數量級，A*算法同樣可以找到正確的最短路徑
最為關鍵的是，它搜尋的方塊個數明顯比廣度優先遍歷少很多，因此也就更高效。
理解了算法的基本原理后，接下來就是上代碼了，這里我直接引用redblobgames的Python代碼實現，因為人家實在寫的太好了！
def heuristic(a, b): #Manhattan Distance (x1, y1) = a (x2, y2) = b return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2) def a_star_search(graph, start, goal): frontier = PriorityQueue() frontier.put(start, 0) came_from = {} cost_so_far = {} came_from[start] = None cost_so_far[start] = 0 while not frontier.empty(): current = frontier.get() if current = goal: break for next in graph.neighbors(current): new_cost = cost_so_far[current] + graph.cost(current, next) if next not in cost_so_far or new_cost < cost_so_far[next]: cost_so_far[next] = new_cost priority = new_cost + heuristic(goal, next) frontier.put(next, priority) came_from[next] = current return came_from, cost_so_far
先來看看最上面幾行，frontier中存放了我們這一輪探測過的所有邊界方塊(之前圖中那些綠色的方塊)
frontier = PriorityQueue()
PriorityQueue代表它是一個優先隊列，就是說它能夠用“代價”自動排序，並每次取出”代價“最低的方塊
frontier.put(start, 0)
隊列里面呢我們先存放一個元素，就是我們的起點
came_from = {}
接下來的的 came_from 是一個從當前方塊到之前的映射，代表路徑的來向
cost_so_far = {}
這里的 cost_so_far 代表了方塊的“當前代價”
came_from[start] = None cost_so_far[start] = 0
這兩行將起點的 came_from 置空，並將起點的當前代價設置成0，這樣子就可以保證算法數據的有效性
while not frontier.empty(): current = frontier.get()
接下來，只要 frontier 這個隊列不為空，循環就會一直執行下去，每一次循環，算法從優先隊列里抽出代價最低的方塊
if current = goal: break
然后檢測這個方塊是不是終點塊，如果是算法結束，否則繼續執行下去
for next in graph.neighbors(current):
接下來，算法會對這個方塊上下左右的相鄰塊，也就是循環中 next 表示的方塊進行如下操作
new_cost = cost_so_far[current] + graph.cost(current, next)
算法會先去計算這個 next 方塊的“新代價”，它等於之前代價 加上從 current 到 next 塊的代價
由於我們用的是網格，所以后半部分是 1
if next not in cost_so_far or new_cost < cost_so_far[next]:
然后只要 next 塊沒有被檢測過，或者 next 當前代價比之前的要低
frontier.put(next, priority)
我們就直接把他加入到優先隊列，並且這里的總代價priority等於“當前代價”加上”預估代價“
priority = new_cost + heuristic(goal, next)
預估代價就是之前講到的“曼哈頓距離”
def heuristic(a, b): (x1, y1) = a (x2, y2) = b return abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)
之后程序就會進入下一次循環，重復執行之前的所有步驟
這段程序真的是寫的特別巧妙，可能比較難以理解可是多看幾遍說不定你就突然靈光乍現了呢
拓展
如果把地圖拓展成網格形式（Grid），因為圖的節點太多，遍歷起來會非常的低效
於是我們可以吧網格地圖簡化成 節點更少的路標形式（WayPoints）
然后需要注意的是：這里任意兩個節點之間的距離就不再是1了，而是節點之間的實際距離
我們還可以用自上而向下分層的方式來存儲地圖
比如這個四叉樹（Quad Tree）
又或者像unity中使用的導航三角網（Navigation Mesh），這樣子算法的速度就會得到進一步優化
另外，我還推薦redblobgames的教程
各種算法的可視化，以及清楚的看見各種算法的遍歷過程、中間結果
以及各種方法之間的比較，非常的直觀形象，對於算法的理解也很有幫助。
參考：
[1]周小鏡. 基於改進A算法的游戲地圖尋徑的研究[D].西南大學,2010.
[2]https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/A_search_algorithm