數學是最復雜的研究性學科之一，其研究的先修基礎要求很高，所以學習過程也非常需要技術性。中國的數學教材多偏向於蘇聯風格，不易讀，無形中提高了門檻。所以一個合適的教學體系和教材推薦對於數學的學習至關重要。
這份數學書單，是根據法國巴黎高等師范學校（數學最牛校，沒有之一）的指定教材及教授推薦給出，在保持了學術難度的情況下降低學習門檻。這套書目是這套教材構成一個完整的數學教材體系，都是教得特別深入淺出的專著，特別適合自學提高。
以下是按照學習推薦進度排序的，分本科生和研究生的課程。自學起點是高中畢業。
數學本科：
如果大家對微積分已經可以定量算了（例如可以計算面積分），就請跳過第一本，否則需要補充一下普通微積分的基礎。
《Calculus》 (揭密系列書之一) 這是絕對的入門書籍，基礎向。如果大家之前學過高數，就可以忽略這一本了。
下面就開始嚴格的數學訓練了：
數學分析（一）（英文版）byApostol
數學分析（二）（英文版）byApostol
本書為美國大學標准數分教材。數分是一切的基礎，沒有數分的底子，實變學十遍也沒用。可是很多人在初入數學殿堂就立志不做數學了，就是因為采用了蘇聯風格的中文教材，實在悲劇。學數學本來就是一件快樂而清晰的事情，所以第一本至關重要。請看這本吧，看完之后你會發現中文數分教材很坑爹。
《Linear.Algebra.done.right》by Axler
好書能讓人順理成章地領悟新概念，爛書能讓人放棄理想。這是一本中規中矩但清晰易讀的好書。薄薄兩百多頁，很快就能讀完。
《All the Mathematics you missed but need to know》by Garrity
校長建議大家學完數分和線代之后，不要直接開始學復變或者實變，可以先開始感受一下高級數學的美。這本書可以使讀者很容易看透其中的數學本質。仿佛度假觀光一樣，舉重若輕地談了很多深刻的數學領域，例如拓撲和“形式(form)”。數學系的人，先讀點輕松的數學入門，日后在讀深入的著作將有高屋建瓴之效。
有了一定的數學概念以后，再開始讀基礎向的書籍。
分析類：
對於實變和復變之爭的問題，校長認為應該先學復變。雖然復數域大家比較不熟悉，可是復數域的性質比實數域要規整很多，一階可導，階階可導。這么完美的屬性在數學中可不多。學習應該先學簡單的在學復雜的。
復變和實變皆推薦Princeton大神Stein的著作
《ComplexAnalysis 》by EliasM. Stein, Rami Shakarchi
實變
《Real Analysis》by Elias M. Stein, Rami Shakarchi
對於數學這種復雜度和抽象程度極高的學科，光看不行，必須有配套的習題作為質量保證。推薦這本《A ComplexAnalysis Problem Book》。
有了實變復變的分析學基礎后，看泛函分析將是如魚得水。
泛函推薦兩本，第一本入門，第二本提高（建議在學完拓撲后再看）
第一本：《Functional Analysis》byPeter Lax
第二本：《functioanl analysis》by.Walter.Rudin
Rudin和物理中的Griffith一樣，Rudin在數學分析領域所做的傑出工作可能並不廣為人知，但他的三本教科書被翻譯成多種語言版本，供世界各地的大學生使用。這是他的第三本也是最成功的一本分析學教材，獲得1993年美國數學會頒發的Leroy P.Steel獎。大家看完這一本，下一個該做的事情就是把中文版泛函分析教材燒了（當然，中英互譯的附錄可以留下來背單詞用）。
概率類：
數學系的同學先通過工科概統有一個直觀的感受：（關於這一點，我想很多人都有類似的想法吧）
《Foundamental of Probability and Statistics for engineers》by Soong
在加強數學嚴密性訓練：
《Foundation of Modern Probability》by Kallenberg
代數類：
《A.first.course.in.abstract.algebra》by Rotman
你會驚訝於，為什么對新手而言這么難的一門課能夠被他講得如此生動。你應該知道看完它應該做什么了吧？對的——燒中文書。另外說一句，群論的始祖伽羅華就出自巴黎高師。
下面就進入經典的點集拓撲的學習，點集拓撲推薦這本
《Basic Topology》byArmstrong.
當然，既然已經學過了分析和拓撲，下一步學習流形就順理成章了。
這本流形上的張量分析很好地介紹了廣義相對論中數學的應用。作為本科生，了解一下未來各個方向的內容至關重要。
《Tensoranalysis on Manifolds》
學抽代和拓撲完直接學代數拓撲？其實沒必要，高師就是把代數拓撲放在研究生一年級的。你可以先更好地理解一下群論中的Isomor phism和FreeGroup這個概念。感受一下應用的美妙（當然不是生活層面的應用，而是稍微具象一些的數學理論，雖然knot theory本身也是研究生的一個細分的專業）推薦這本書：
《Introductionto Knot Theory》CrowellFox
最后你還需要補這兩本書就能夠本科數學畢業了。
《DifferentialEquations, Dynamical Systems & A Introduction to Chaos》
很好的微分方程入門，對理解nonlinear有奇效。洛倫茲吸引子的魅力也被充分展示。
《An Introduction to Modern Mathematical Computing 》by Borwein, Skerritt
數學研究生：
數學的領域眾多，但低年級的研究生入門課程的都必須掌握的。在這些的基礎上才有可能談及后期的研究。
Hatcher的代數拓撲可以說成功地把這門課教得賞心悅目。
《Algebraic.Topology》by A.Hatcher
學研究生基礎課代數幾何之前要先學交換代數，推薦這本《交換代數六講》
《Six Lectures on Commutative Algebra》by Elias
《LecturesOn Algebraic Geometry I Sheaves, Cohomology》
《Lectureson Algebraic Geometry II Basic Concepts, Coherent Cohomology, Curves and theirJacobians》
在之前Manifold的張量分析基礎上，更好地理解黎曼面，這兩本套裝不可或缺。
《AnIntroduction To Lie Groups And Lie Algebras 》by Kirillov
連續群在數學和物理各領域的應用極廣，這本李群和李代數是不可或缺的好書。
有了以上基礎，可以看李群領域的Vinberg三卷套神書（好想吐槽，理論物理中也有Weinberg三卷套神書。。。難道叫berg的都是神？）
Lie groups and algebraic groups I -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups II -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
Lie groups and algebraic groups III -A. L. Onishchik, E. B. Vinberg
最后研究生領域一本基礎讀物就是這本Operator Theory的書了
Operator Algebras, Operator Theoryand Applications
最近有一些大一剛入學的學弟學妹問我，剛進入數學系應該讀哪些書，我想了想就把推薦的書目整理一下存在知乎上以備不時之需吧。
- 數學分析、高等代數
大一最重要的兩門基礎課無疑是數學分析與高等代數。數學分析張築生老師的《數學分析新講》比較好，觀點新，不足之處是沒有習題，可以使用林源渠的《數學分析解題指南》作為配套習題集。進階一點的數學分析可以讀Rudin的《數學分析原理》。
當系統地學完一遍數學分析之后，可以看一看辛欽的《數學分析八講》，很薄的一本小冊子，但是把數學分析最核心最本質的東西體現出來了，可以解答諸如“為什么要學數學分析”、“數學分析是干嘛的”此類問題。
另外，不是很推薦《吉米多維奇數學分析習題集》，當然做題是必不可少的一個環節，我覺得把每本書的課后習題弄清楚就可以了，如果非要習題集的話，可以做一做胡適耕的《數學分析 定理 問題 方法》或者“裴禮文”。
這里還要強推一下我偶像陶哲軒的《Analysis》，英文原版是上下兩冊，上冊從Peano公理定義自然數說起，逐步建立有理數、實數，讀起來一氣呵成，不會讓你不知道他在說啥，同時下冊也有對測度論和Lebesgue積分的介紹，是一本挺好的分析學入門書。
北京大學的《高等代數（第三版）》是一本比較經典的教材，雖然已經出版30年了，卻仍被許多院校作為考研指定參考書。但是不可否認，其中的許多觀點已經有點陳舊，一些地方的處理略顯土鱉。不過北京大學藍以中老師的《高等代數簡明教程》倒是還可以，雖然並不簡明，習題部分可以和《高等代數學習指南》配合使用。
- 復分析、實分析
復分析和實分析均推薦E. Stein的作品《Complex Analysis》和《Real Analysis》。Stein的書有一個特點，就是行文流暢，思路清晰，讀起來像“小說”。值得一提的是，讀Stein的書一定一定要做課后習題！有很多重要的結論和推廣都放在習題里，這也是很多人吐槽Stein書正文部分too naive而習題卻廣受好評的一個原因。
初學實分析的時候也可以配合看看周民強《實變函數論》，至於進階一點的書，那必然是Rudin的《Real and Complex Analysis》。需要說明的是，這本書的最初受眾者並不是本科生，對於我們天賦一般的人來說，讀起來有一定的難度，可以在學過一遍實分析復分析之后來嘗試一下。
- 泛函分析
很慚愧，我至今沒有認真學過一遍泛函分析，只是在課堂上跟隨老師聽了一遍留了個印象。Stein第四卷《Functional Analysis》據說質量一般，Rudin第三卷《Functional Analysis》據說非常變態（當然以上兩本書我都沒看過）。張恭慶的《泛函分析講義（上）》我是讀了一點的，普遍評價也還不錯。Peter Lax那本泛函分析據說非常好，當然我也沒有看過。
- ODE、PDE
ODE沒啥好說的，隨便找本書看看就差不多了，比如丁同仁《常微分方程》。至於延伸出來的動力系統等理論就要去找專門的書來讀。Arnold那本《ODE》寫的很幾何（當然如果他願意的話他可以把任何課程寫的很幾何），有興趣可以看看。
說到PDE，我曾有一段時間是比較喜歡這種暴力美學的，預習了一下Evans的第一部分，開學上課用的是陳祖墀的《偏微分方程》（基本上是翻譯Evans的），所以就沒怎么聽過課，期末考的也還行。下學期選了一個現代偏微分方程選講，不知道是個什么級別的。另外據可靠的人透露，Gilbarg有一本《二階橢圓偏微分方程》是方程方向學生的必刷書，有興趣可以考慮。
- 抽象代數
由於本人代數極其辣雞（高等代數都學不好的那種），所以本科階段代數類課程僅僅學過抽象代數。一開始讀的是Artin的《Algebra》，中途聽別人推薦換成了GTM73，一段時間之后實在受不了世界圖書出版公司的影印質量，遂換回Artin。總之Artin這本書還是非常好的，門檻低，證明詳細，習題不難，咸魚之友。Artin最后一章講了Galois理論，讀完正好接着讀他爹E. Artin寫的《Galois Theory》。
- 微分幾何（流形理論、黎曼幾何）
一開始學古典微分幾何我是看的小林昭七的《曲線與曲面的微分幾何》，這本書比較小眾，年代也比較久遠，翻譯的也比較不好，電子版也比較不清晰，但這都不影響這是一本比較好的書。內容主要是古典的曲線曲面論，也簡單介紹了一點整體微分幾何，包括微分形式的積分、Gauss-Bonnet定理。
關於微分流形，參見我的一個回答，說的很詳細了。
在本科數學階段你學過最有趣的一門數學課是什么？為什么？www.zhihu.com
黎曼幾何我還沒學，不過教材已經准備好了，do Carmo《Riemannian Geometry》+GTM275。至於評價，等學完再來更新（估計是來不了了）。
- 拓撲學（代數拓撲、微分拓撲）