前言
當我們更新了三角函數的定義方式后，自然就會遇到三種函數的值的相互關系，比如已知\(\sin\theta+\cos\theta\)[四則運算之一，加法]的值，如何求解關於\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)之間的四則運算的剩余運算，是本博文探討的重點。
注意以下幾組常用此處感覺和韋達定理有異曲同工之妙，\((x_1-x_2)^2\)\(=\)\((x_1+x_2)^2\)\(-\)\(4x_1x_2\)；見下公式：
①\(1+\sin2\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^2\)；②\(1-\sin2\theta=(\sin\theta-\cos\theta)^2\)；
四則運算
分析：給\(\sin\theta+\cos\theta=\cfrac{1}{5}\)，兩邊平方，得到\(1+2\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{1}{25}\)，
即得到\(2\sin\theta\cdot\cos\theta=-\cfrac{24}{25}\)，則解得\(\sin\theta\cdot\cos\theta=-\cfrac{12}{25}\)[乘法]；
由\(-2\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{24}{25}\)，兩邊同加\(1\)，得到
\((\sin\theta-\cos\theta)^2=\cfrac{49}{25}\)，解得，\(\sin\theta-\cos\theta=\pm\cfrac{7}{5}\)，
由於\(\theta\in (\cfrac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\sin\theta>0\)， \(\cos\theta<0\)，故舍去\(\sin\theta-\cos\theta=-\cfrac{7}{5}\)，
故得到\(\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{7}{5}\)[減法]；
又由於\(\left\{\begin{array}{l}{\sin\theta+\cos\theta=\cfrac{1}{5}}\\{\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{7}{5}}\end{array}\right.\)\(\quad\)，解方程得到\(\left\{\begin{array}{l}{\sin\theta=\cfrac{4}{5}}\\{\cos\theta=-\cfrac{3}{5}}\end{array}\right.\)
故\(\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\cfrac{4}{3}\)[除法].
解后反思：一般來說，當已知了關於\(\sin\theta\)和\(\cos\theta\)的四則運算之一，再結合范圍，我們可以求出剩余的三種運算的結果，這個可以稱為“知一求三”的類型。
運算技巧
①勾股數，如果引入勾股數，對計算是有幫助的；
法3：實際高考中，我們常常是利用勾股數來快速求解的，比如已知\(\alpha\in (0，\pi)\)，且\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{1}{5}\)，
快速聯系勾股數\(3、4、5\)，則\(sin\alpha\)和\(cos\alpha\)的值必然在\(\pm\cfrac{3}{5}\)和\(\pm\cfrac{4}{5}\)中快速選擇，[1]
則由\(sin\alpha\cdot cos\alpha=-\cfrac{12}{25}<0\)，可知\(sin\alpha>0，cos\alpha<0\)，故\(\begin{cases}sin\alpha=\cfrac{4}{5}\\cos\alpha=-\cfrac{3}{5}\end{cases}\)
②引入比例因子法
引入比例因子法，由\(tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}=2\)，\(\theta\)為第三象限的角，
可設\(sin\theta=2k\)，\(cos\theta=k(k<0)\)，
由於\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)，即\(5k^2=1\)，解得\(k=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，
故有\(sin\theta=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)；\(cos\theta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)；
③用三角函數線判斷正負和大小比較 [儲備：這些知識在三角函數的化簡求值計算時可能需要用到]
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)上時，\(sin\theta=cos\theta\)；
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)右下方時，\(sin\theta<cos\theta\)；
當\(\theta\)的終邊落在直線\(y=x\)左上方時，\(sin\theta>cos\theta\)；
④進退策略
比如已知\(\sin\theta\cdot\cos\theta\)的值，求解\(\sin\theta\pm\cos\theta\)的值，我們常常是先求得\((\sin\theta\pm\cos\theta)^2\)的值，然后開方得到\(\sin\theta\pm\cos\theta\)的值；
衍生應用
利用上述運算的模式，我們可以這樣思考，如果\(\sin\theta\pm \cos\theta\)[加減]與\(\sin\theta\cdot \cos\theta\)[乘]同時出現在一個函數中時，我們可以將其中的一個的值定義為參數，將另一個用該參數來刻畫；這樣就和換元法建立了關聯。
①比如定義乘，然后刻畫表達加減：
【案例1】已知\(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\)，令\(\sin\theta\cdot \cos\theta=t\)，則\(\sin2\theta=2t\in[0,1]\)，故\(t\in[0,\cfrac{1}{2}]\)，
這樣\(1+\sin2\theta=1+2t\)，即\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2t\)，故\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{1+2t}\)；
\(1-\sin2\theta=1-2t\)，即\((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2t\)，故\(\sin\theta-\cos\theta=\pm\sqrt{1-2t}\)；
②再比如定義加減，然后刻畫表達乘：
【案例2】已知\(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\)，令\(\sin\theta+\cos\theta=t\)，
則\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[1,\sqrt{2}]\)，故\(t\in[1,\sqrt{2}]\)，
這樣\((\sin\theta+\cos\theta)^2=t^2\)，則\(1+2\sin\theta\cdot\cos\theta=t^2\)，即\(\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{t^2-1}{2}\)，
反思總結：從理論角度分析，設一表達二是完全行得通的，但是從學習和教學實踐的角度來看，用定義[加減]來表達[乘]的思路，應用更廣泛，得到的函數的性質更容易分析。
高階提升
分析：利用換元轉化為分式型處理；
令\(sin\alpha+cos\alpha=t=\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})\in [1，\sqrt{2}]\)，
則\(sin\alpha\cdot cos\alpha=\cfrac{t^2-1}{2}\)，
則原函數轉化為\(y=\cfrac{\frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=\cfrac{1}{2}(t-\cfrac{1}{t})，t\in [1，\sqrt{2}]\)
分析：由於函數\(f(x)=cos2x+a(sinx-cosx)\)在區間\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上單調遞增，
則\(f'(x)\ge 0\)在區間\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恆成立，
又\(f'(x)=-2sin2x+a(cosx+sinx)\ge 0\)在區間\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恆成立，
由於\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，\(cosx+sinx>0\)，故用完全分離參數法，得到，
\(a\ge \cfrac{2sin2x}{sinx+cosx}\)在區間\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恆成立，
題目轉化為求函數\(g(x)=\cfrac{2sin2x}{sinx+cosx}\)的最大值問題。
令\(sinx+cosx=t=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\)，則\(t\in [1，\sqrt{2}]\)，
則\(sin2x=t^2-1\)，則函數\(g(x)=h(t)=\cfrac{2(t^2-1)}{t}=2(t-\cfrac{1}{t})\)，
又函數\(h'(t)=1+\cfrac{1}{t^2}>0\)在\(t\in [1，\sqrt{2}]\)上恆成立，
故函數\(h(t)\)在\(t\in [1，\sqrt{2}]\)上單調遞增，
故\(g(x)_{max}=h(t)_{max}=h(\sqrt{2})=\sqrt{2}\)，
故\(a\ge \sqrt{2}\)。即\(a\in [\sqrt{2}，+\infty)\)。
同質思維
- \((x_1-x_2)^2\)\(=\)\((x_1+x_2)^2\)\(-\)\(4x_1x_2\)；
- 均值不等式[注意等式變化為不等式]
給定表達式\(a^2+b^2-ab=9\)，變形得到\((a+b)^2=9+3ab\)，如果用均值不等式\(ab\leq (\cfrac{a+b}{2})^2\)替換題目中的\(ab\)，原來的相等關系可以轉化為不等關系，則有\((a+b)^2\leq 9+3\times (\cfrac{a+b}{2})^2\)，得到\((a+b)^2\leq 36\)，解不等式可以得到\(a+b\leq 6\)，故可求周長\(a+b+c\)的范圍；
如果用\(a^2+b^2\ge 2ab\)替換題目中的\(a+b\)，則原來的相等關系可以轉化為不等關系，則有\(2ab\leq 9+ab\)，解不等式可以得到\(ab\leq 9\)；故可以利用\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC\)求三角形面積的范圍。
注意勾股數快速確定三角函數值的方法。常用的勾股數\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)； ↩︎