关于 sinθ 和 cosθ 的四则运算及引申


前言

当我们更新了三角函数的定义方式后,自然就会遇到三种函数的值的相互关系,比如已知\(\sin\theta+\cos\theta\)[四则运算之一,加法]的值,如何求解关于\(\sin\theta\)\(\cos\theta\)之间的四则运算的剩余运算,是本博文探讨的重点。

注意以下几组常用此处感觉和韦达定理有异曲同工之妙,\((x_1-x_2)^2\)\(=\)\((x_1+x_2)^2\)\(-\)\(4x_1x_2\);见下公式:

\(1+\sin2\theta=(\sin\theta+\cos\theta)^2\);②\(1-\sin2\theta=(\sin\theta-\cos\theta)^2\)

四则运算

已知\(\sin\theta+\cos\theta=\cfrac{1}{5}\)[加法],\(\theta\in (\cfrac{\pi}{2},\pi)\),求\(\sin\theta-\cos\theta\)\(\sin\theta\cdot\cos\theta\)\(\sin\theta\div\cos\theta\)的值;

分析:给\(\sin\theta+\cos\theta=\cfrac{1}{5}\),两边平方,得到\(1+2\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{1}{25}\)

即得到\(2\sin\theta\cdot\cos\theta=-\cfrac{24}{25}\),则解得\(\sin\theta\cdot\cos\theta=-\cfrac{12}{25}\)[乘法];

\(-2\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{24}{25}\),两边同加\(1\),得到

\((\sin\theta-\cos\theta)^2=\cfrac{49}{25}\),解得,\(\sin\theta-\cos\theta=\pm\cfrac{7}{5}\)

由于\(\theta\in (\cfrac{\pi}{2},\pi)\),则\(\sin\theta>0\)\(\cos\theta<0\),故舍去\(\sin\theta-\cos\theta=-\cfrac{7}{5}\)

故得到\(\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{7}{5}\)[减法];

又由于\(\left\{\begin{array}{l}{\sin\theta+\cos\theta=\cfrac{1}{5}}\\{\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{7}{5}}\end{array}\right.\)\(\quad\),解方程得到\(\left\{\begin{array}{l}{\sin\theta=\cfrac{4}{5}}\\{\cos\theta=-\cfrac{3}{5}}\end{array}\right.\)

\(\tan\theta=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\cfrac{4}{3}\)[除法].

解后反思:一般来说,当已知了关于\(\sin\theta\)\(\cos\theta\)的四则运算之一,再结合范围,我们可以求出剩余的三种运算的结果,这个可以称为“知一求三”的类型。

运算技巧

①勾股数,如果引入勾股数,对计算是有帮助的;

法3:实际高考中,我们常常是利用勾股数来快速求解的,比如已知\(\alpha\in (0,\pi)\),且\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{1}{5}\)

快速联系勾股数\(3、4、5\),则\(sin\alpha\)\(cos\alpha\)的值必然在\(\pm\cfrac{3}{5}\)\(\pm\cfrac{4}{5}\)中快速选择,[1]

则由\(sin\alpha\cdot cos\alpha=-\cfrac{12}{25}<0\),可知\(sin\alpha>0,cos\alpha<0\),故\(\begin{cases}sin\alpha=\cfrac{4}{5}\\cos\alpha=-\cfrac{3}{5}\end{cases}\)

②引入比例因子法

已知\(\theta\)为第三象限的角,且\(tan\theta=2\),求\(sin\theta\)\(cos\theta\)

引入比例因子法,由\(tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}=2\)\(\theta\)为第三象限的角,

可设\(sin\theta=2k\)\(cos\theta=k(k<0)\)

由于\(sin^2\theta+cos^2\theta=1\),即\(5k^2=1\),解得\(k=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)

故有\(sin\theta=-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)\(cos\theta=-\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)

③用三角函数线判断正负和大小比较 [储备:这些知识在三角函数的化简求值计算时可能需要用到]

\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)上时,\(sin\theta=cos\theta\)

\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)右下方时,\(sin\theta<cos\theta\)

\(\theta\)的终边落在直线\(y=x\)左上方时,\(sin\theta>cos\theta\)

进退策略

比如已知\(\sin\theta\cdot\cos\theta\)的值,求解\(\sin\theta\pm\cos\theta\)的值,我们常常是先求得\((\sin\theta\pm\cos\theta)^2\)的值,然后开方得到\(\sin\theta\pm\cos\theta\)的值;

衍生应用

利用上述运算的模式,我们可以这样思考,如果\(\sin\theta\pm \cos\theta\)[加减]与\(\sin\theta\cdot \cos\theta\)[乘]同时出现在一个函数中时,我们可以将其中的一个的值定义为参数,将另一个用该参数来刻画;这样就和换元法建立了关联。

①比如定义乘,然后刻画表达加减:

【案例1】已知\(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\),令\(\sin\theta\cdot \cos\theta=t\),则\(\sin2\theta=2t\in[0,1]\),故\(t\in[0,\cfrac{1}{2}]\)

这样\(1+\sin2\theta=1+2t\),即\((\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2t\),故\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{1+2t}\)

\(1-\sin2\theta=1-2t\),即\((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2t\),故\(\sin\theta-\cos\theta=\pm\sqrt{1-2t}\)

②再比如定义加减,然后刻画表达乘:

【案例2】已知\(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\),令\(\sin\theta+\cos\theta=t\)

\(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[1,\sqrt{2}]\),故\(t\in[1,\sqrt{2}]\)

这样\((\sin\theta+\cos\theta)^2=t^2\),则\(1+2\sin\theta\cdot\cos\theta=t^2\),即\(\sin\theta\cdot\cos\theta=\cfrac{t^2-1}{2}\)

反思总结:从理论角度分析,设一表达二是完全行得通的,但是从学习和教学实践的角度来看,用定义[加减]来表达[乘]的思路,应用更广泛,得到的函数的性质更容易分析。

高阶提升

如求函数\(y=\cfrac{sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin\alpha+cos\alpha},\alpha\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\)的值域问题。

分析:利用换元转化为分式型处理;

\(sin\alpha+cos\alpha=t=\sqrt{2}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})\in [1,\sqrt{2}]\)

\(sin\alpha\cdot cos\alpha=\cfrac{t^2-1}{2}\)

则原函数转化为\(y=\cfrac{\frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=\cfrac{1}{2}(t-\cfrac{1}{t}),t\in [1,\sqrt{2}]\)

【2019学生问题】[转化划归+恒成立问题+分离参数+换元法+求最值]函数\(f(x)=cos2x+a(sinx-cosx)\)在区间\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增,求实数\(a\)的取值范围。

分析:由于函数\(f(x)=cos2x+a(sinx-cosx)\)在区间\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增,

\(f'(x)\ge 0\)在区间\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立,

\(f'(x)=-2sin2x+a(cosx+sinx)\ge 0\)在区间\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立,

由于\(x\in [0,\cfrac{\pi}{2}]\)\(cosx+sinx>0\),故用完全分离参数法,得到,

\(a\ge \cfrac{2sin2x}{sinx+cosx}\)在区间\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立,

题目转化为求函数\(g(x)=\cfrac{2sin2x}{sinx+cosx}\)的最大值问题。

\(sinx+cosx=t=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\),则\(t\in [1,\sqrt{2}]\)

\(sin2x=t^2-1\),则函数\(g(x)=h(t)=\cfrac{2(t^2-1)}{t}=2(t-\cfrac{1}{t})\)

又函数\(h'(t)=1+\cfrac{1}{t^2}>0\)\(t\in [1,\sqrt{2}]\)上恒成立,

故函数\(h(t)\)\(t\in [1,\sqrt{2}]\)上单调递增,

\(g(x)_{max}=h(t)_{max}=h(\sqrt{2})=\sqrt{2}\)

\(a\ge \sqrt{2}\)。即\(a\in [\sqrt{2},+\infty)\)

同质思维

  • \((x_1-x_2)^2\)\(=\)\((x_1+x_2)^2\)\(-\)\(4x_1x_2\)
  • 均值不等式[注意等式变化为不等式]

给定表达式\(a^2+b^2-ab=9\),变形得到\((a+b)^2=9+3ab\),如果用均值不等式\(ab\leq (\cfrac{a+b}{2})^2\)替换题目中的\(ab\),原来的相等关系可以转化为不等关系,则有\((a+b)^2\leq 9+3\times (\cfrac{a+b}{2})^2\),得到\((a+b)^2\leq 36\),解不等式可以得到\(a+b\leq 6\),故可求周长\(a+b+c\)的范围;

如果用\(a^2+b^2\ge 2ab\)替换题目中的\(a+b\),则原来的相等关系可以转化为不等关系,则有\(2ab\leq 9+ab\),解不等式可以得到\(ab\leq 9\);故可以利用\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}absinC\)求三角形面积的范围。


  1. 注意勾股数快速确定三角函数值的方法。常用的勾股数\(3n,4n,5n(n\in N^*)\)\(5,12,13\)\(7,24,25\)\(8,15,17\)\(9,40,41\)↩︎


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