什么是可計算理論
這個學期剛好上這門課，此課絕對是CS課程中的神課，需要一定的決心和耐心才能啃下來。這篇文章可以說是一篇科普文，爭求通俗易懂。
可計算理論是計算理論的一個分支，還有兩個分支分別是自動機和計算復雜性。
這些名詞都顧名思義，自動機講的是計算的模型，比如圖靈機，它是由無限長磁帶，讀寫磁頭和一些狀態轉移序列組成；可計算理論，研究的是一個函數（或程序）是不是能被計算，但是什么叫能被計算呢，比如說給定x，你給我計算出2x，這個函數就是可計算的，那又有什么函數是不可計算的呢？稍后你會看到著名的停機問題，這個程序就是不可計算的；計算復雜性研究的是如何有效地解決問題。
這剛好是計算的三個方面：計算的模型，計算的界限，計算的代價。
現在讓我們關注可計算性這個方面。
什么是可計算函數？
如果存在一段程序來計算一個函數，那么這個函數就是可計算的。通俗來講，你能用編程語言寫出來並運行的都是可計算函數，更通俗來講，你寫完程序，在windows下會生成一個exe執行文件，假設打開后會提示你給一個程序的輸入，這個程序根據這個輸入能計算出相應的結果，可以把這個程序看為一個函數，給定x，輸出f(x)。以后你每次想計算f(x)，只要運行相同的程序就可以了。處理一類問題有相同的算法，這樣的函數叫可計算函數。比如給x，輸出x^2+6，就是可計算的。
這里需要把程序P和函數f的概念說清楚。如果一個程序P的效果可以和一個函數f的效果一樣，也就是說給定x，P(x)=f(x)，我們就說P能夠計算f。但是他們不是一一對應的關系，即多個程序可以對應同一個f。比如說給定x，輸出2x，函數f是唯一確定的，即f(x)=2x，但程序不是確定的，比如我可以給每個程序最后加個不相關賦值語句，程序的輸出是不變的，但每個程序都是不一樣的。
什么是不可計算函數？
考慮這樣一個問題：是否存在一個程序，它能夠計算任何程序在給定輸入下是否會運行結束？
答案是不存在。這就是著名的停機問題。
現在讓我們來證明一下，證明思想相當精妙和精簡。
假設這樣的函數存在，設為halt(char* program, char* input)，那么這個函數編寫出來就是這樣的：
bool halt(char* program, char* input)
{
if(<program> halts on <input>)
return true;
else
return false;
}
然后我們考慮這樣一個函數，這個函數就像它的程序名一樣那么邪惡：
void Evil(char *p)
{
if(halt(p,p))
while(1); //forever loop
else
return;
}
然后我們考慮Evil(Evil)是否會停機（即Evil這個程序的輸入是它本身）。
如果Evil(Evil)會停機，那么必然執行的是else語句里的return，那么if的判定條件為false，那么halt(Evil,Evil)必返回false，即Evil程序不會在Evil輸入上停機，而假設是會停機，矛盾。
如果Evil(Evil)不會停機，那么必然執行的if語句里的死循環，所以if的判定條件為true，那么halt(Evil,Evil)必返回true，即Evil程序會在Evil輸入上停機， 而假設是不會停機，矛盾。
所以它停也矛盾，不停也矛盾，於是得出halt(char* program, char* input)這個函數是不存在的。
實際上還有很多函數都是不可計算的。比如，
不存在一個程序，它能夠判斷任何程序是否是0函數。（0函數就是說對於所有輸入輸出都是0）。
不存在一個程序，它能夠判斷任意兩個程序是否計算同樣的f。
那么是否有一個比較系統的方法來判斷哪些函數是不可計算的呢？答案是有的，這就是著名的Rice's Theorem。這個定理說的是，有一個函數集合B（即這個集合B是函數f的集合），並且B不是空集，也不是全部函數f，那么程序P是否屬於B是不可計算的。
什么意思呢，舉個形象的例子。比如說你是程序設計這門課的助教。你布置了一個作業，要求學生寫一個程序，任意給定x，輸出2x。學生馬上寫完交給你了，你驚奇地發現這門課竟然有200名學生，然后一個偷懶的想法在你腦中誕生了：我是不是能寫一個程序，來自動判斷學生上交的程序是否滿足要求呢？Rice‘s theorem打破了你的幻想，這樣的程序是不存在的。
這個例子中，令B包含f(x)=2x這個函數，助教想做的是判斷一個程序是否屬於這個集合B，Rice‘s theorem告訴我們這樣的程序不存在。
除了研究函數的可計算性，可計算理論還關注什么？
實際上，這門課包含的內容遠遠不止上文這些東西。還有一些很重要的概念，比如：
1. 康托提出的對角線方法；
2. 哥德爾不完備定理也可以通過這門課的后續內容推導出來；
3. 歸約的思想，問題難度的划分。
4. 第一和第二遞歸定理。
這些都是相當美妙，計算理論里相當關注的問題。
本文不可能全部介紹這些概念，如果你有興趣，請參考Nigel Gutland寫的《An introduction to recursive function theory》，寫得算比較詳細了。
至此，你應該懂了什么是停機問題，什么是可計算函數，什么是不可計算的，作為科普，這些就夠了。計算理論本身就是需要鑽研才能明白的學科。
這門課可能對找工作的人沒有太大幫助，但是它讓人體會到了美和偉大。
參考資料：
[1] 《An introduction to recursive function theory》. Nigel Gutland
[3] 《暗時間》 劉未鵬