NOIP--阿克曼函數的遞歸轉非遞歸解法

  ackerman函數(阿克曼函數，以下簡稱ack函數)是一個雙參數遞歸函數，用遞歸計算代碼如下

int ack(int m,int n)
{    
    if (m==0)        
     return n+1;    
     else if (n==0)        
     return ack(m-1,1);    
     else
     return ack(m-1,ack(m,n-1));
}

 

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        ack函數像Dirichlet函數一樣，是因為為了澄清某種概念而在數學(計算科學)史有一席之地。 
        ack函數最初是作為一個非線性的鏈式遞歸的例子而被提出來的，它增長很快，事實上m>3時關於n是遠高於線性遞推的指數級增長(關於m增長地更快)而反直覺，即使精確計算ack(4,1)也是做不到的，即使ack(3,3)也有61，如果不記憶化搜索，需要遞歸2000余次才可以計算出來！如果不去考慮ack(3,n)的指數增長的通項而被小數字迷惑企圖直接計算，那么會算得毫無頭緒，所以ack函數被廣泛用於計算機預賽，筆試，數學自主招生考試中。 
        那么既然ack函數增長地如此之快，那么ack(m,1)的反函數增長地極其緩慢了。事實上，路徑壓縮的並查集經過足夠久的查詢，每次查詢你平均復雜度就是反阿克曼函數級別的(也就是log*級別的，至於為什么，我至晚在2012年就想知道這個問題了，現在終於知道…我恐怕短時間內沒法知道(~^~),算法導論里面有對此的推導，有興趣的同學可以去看一下）,好吧，這是一些有趣的冷知識，和我和ack函數的歷史淵源，就當隨筆寫出來。 
本以為我和ack的緣分在預賽題中知道它怎么做后就沒有什么新進展了，最多以后講到這個題，但是萬萬沒想到我會以一種奇怪的方式遇到這個函數，科學史上雋永有名的函數例如Dirichlet函數，ack函數果然白發如新。

        最近學習ics里的匯編原理初步和數算的棧實現遞歸方法，事實上這兩者是相通的。我雖然沒有編寫過具體匯編代碼，但是大概原則上知道了怎么把函數調用用堆棧實現，怎么用棧機制非遞歸實現遞歸。紙上得來終覺淺，我決定找一個例題，我編了一個復雜點的題—ackerman函數的非遞歸實現(遞歸函數非遞歸化)。 
經過一番調試調試對了，但是人還是很懵懂，看來還要加強理論學習，不過不得不說這是個很好的例題。

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int Ack(int M,int N)
{    
    int top=0,m,n;    
    int stack[10000][4]={{M,N}};//記錄信息m,n,Ack(m,n),跳轉出口種類;
    while (true)
    {
        m=stack[top][0];
        n=stack[top][1];        
    if (m==0)            
    stack[top][2]=n+1;        
    else if (n==0)
        {
            top++;            
    stack[top][0]=m-1;            
    stack[top][1]=1;            
    stack[top][3]=1; 
            continue;
            l1:            
    stack[top][2]=stack[top+1][2];
        }        else
        {
            top++;            
    stack[top][0]=m-1;
            top++;            
    stack[top][0]=m;            
    stack[top][1]=n-1;            
    stack[top][3]=2;            
    continue;
            l2:            
    stack[top][1]=stack[top+1][2];            
    stack[top][3]=3;            
    continue;
            l3:            
    stack[top][2]=stack[top+1][2];
        }        
    if (top==0)            
    break;
        top--;        
    switch (stack[top+1][3])
        {            
    case 1:goto l1;            
    case 2:goto l2;            
    case 3:goto l3; 
        }
    }    return stack[0][2];
}

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