曼德勃羅集合分形圖案

 

三、曼德勃羅集合（Mandelbrot Set）

曼德勃羅集合（Mandelbrot Set）或曼德勃羅復數集合，是一種在復平面上組成分形的點的集合，因由曼德勃羅提出而得名。曼德博集合可以使復二次多項式 進行迭代來獲得。其中，c是一個復參數。對於每一個c，從 z = 0 開始對fc(z)進行迭代。序列 的值或者延伸到無限大，或者只停留在有限半徑的圓盤內（這與不同的參數c有關）。曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至無限大的所有c點的集合。

最后，我們給出一個利用C語言生成Mandelbrot集合並繪制圖形的程序（該程序來自文獻【1】）：

    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <complex.h>
     
    #define width_size      800
    #define height_size     600
    #define Maxval          255
     
    static const float orig_x = width_size * 2/3;
    static const float orig_y = height_size * 1/2;
    static const pixel dim_gray = { 105, 105, 105 };

    typedef struct _pixel {
        unsigned char r;
        unsigned char g;
        unsigned char b;
    } pixel;static unsigned char iteration(int x, int y)
    {
        const int limit = Maxval + 1;
        int i;
        complex c = ((x - orig_x) / (width_size / 3)) +
        ((orig_y - y) / (height_size / 2)) * I;
        complex z = 0;
        
        for (i = 0; i < limit; i++) {
            /* basic formula */
            z = z * z + c;
            if (creal(z) > 2 || cimag(z) > 2)
                break;
        }
        return (unsigned char) (i == limit ? 0 : i);
    }
 
    int main()
    {
        FILE *f = fopen("mandelbrot.ppm", "w+");
        
        /* PPM header */
        fprintf(f,
                "P6\n"      /* PPM magic number */
                "#Mandelbrot Set\n"
                "%d "       /* width, in ASCII decimal */
                "%d\n"      /* height, in ASCII decimal */
                "%d\n",     /* maximum color value, in ASCII decimal */
                width_size, height_size, Maxval);
        
        /* Write every pixel generated by Mandelbrot Set */
        for (int i = 0; i < height_size; i++) {
            for (int j = 0; j < width_size; j++) {
                unsigned char iter = iteration(j, i);
                if (iter) {
                    pixel p = {
                        .r = iter,
                        .g = (float) abs(j - orig_x) / width_size * Maxval,
                        .b = (float) abs(i - orig_y) / height_size * Maxval };
                    fwrite(&p, sizeof(pixel), 1, f);
                } else {
                    fwrite(&dim_gray, sizeof(pixel), 1, f);
                }
            }
        }        
        fclose(f);
        return 0;
    }

上述程序所生成的圖像結果如下圖所示，需要補充說明的是：該圖像文件格式為ppm，在Windows下你可以使用Photoshop來查看這種類型的圖像文件，在OS X系統下你可以使用免費的GIMP軟件來查看它。

 

 

參考 http://blog.linux.org.tw/~jserv/archives/2011/09/_mandelbrot_set.html