引言
首先介紹下什么是凸包？如下圖：
在一個二維坐標系中，有若干點雜亂排列着，將最外層的點連接起來構成的凸多邊型，它能包含給定的所有的點，這個多邊形就是凸包。
實際上可以理解為用一個橡皮筋包含住所有給定點的形態。
凸包用最小的周長圍住了給定的所有點。如果一個凹多邊形圍住了所有的點，它的周長一定不是最小，如下圖。根據三角不等式，凸多邊形在周長上一定是最優的。
凸包的求法
尋找凸包的算法有很多種，常用的求法有 Graham 掃描法和 Andrew 算法
Graham Scan 算法求凸包
Graham Scan 算法是一種十分簡單高效的二維凸包算法，能夠在 \(O(nlogn)\) 的時間內找到凸包。
Graham Scan 算法的做法是先確定一個起點（一般是最左邊的點和最右邊的點），然后一個個點掃過去，如果新加入的點和之前已經找到的點所構成的 "殼" 凸性沒有變化，就繼續掃，否則就把已經找到的最后一個點刪去，再比較凸性，直到凸性不發生變化。分別掃描上下兩個 "殼"，合並在一起，凸包就找到了。這么說很抽象，我們看圖來解釋：
先找 "下殼"，上下其實是一樣的。首先加入兩個點 A 和 B。
然后插入第三個點 C，並計算 \(\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{BC}\) 的向量積，卻發現向量積系數小於（等於）0，也就是說 \(\overrightarrow{BC}\) 在 \(\overrightarrow{AB}\) 的順時針方向上。
於是刪去 B 點。
按照這樣的方法依次掃描，找完 "下殼" 后，再找 "上殼"。
關於掃描的順序，有坐標序和極角序兩種，本文采用前者。坐標序是比較兩個點的 x 坐標，小的先被掃描（掃描上凸殼的時候反過來），如果兩個點 x 坐標相同，那么就比較 y 坐標，同樣的也是小的先被掃描（掃描上凸殼的時候也是反過來）。極角序使用 atan2 函數的返回值進行比較，讀者可以自己嘗試寫下。
下面貼下代碼：Graham Scan 算法
struct Point {
double x, y;
Point operator-(Point& p) {
Point t;
t.x = x - p.x;
t.y = y - p.y;
return t;
}
double cross(Point p) // 向量叉積
{
return x * p.y - p.x * y;
}
};
bool cmp(Point& p1, Point& p2) {
if (p1.x != p2.x) return p1.x < p2.x;
return p1.y < p2.y;
}
Point point[1005]; // 無序點
int convex[1005]; // 保存組成凸包的點的下標
int n; // 坐標系的無序點的個數
int GetConvexHull() {
sort(point, point + n, cmp);
int temp;
int total = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) // 下凸包
{
while (total > 1 &&
(point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]])
.cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
total--;
convex[total++] = i;
}
temp = total;
for (int i = n - 2; i >= 0; i--) // 上凸包
{
while (total > temp &&
(point[convex[total - 1]] - point[convex[total - 2]])
.cross(point[i] - point[convex[total - 1]]) <= 0)
total--;
convex[total++] = i;
}
return total -
1; // 返回組成凸包的點的個數，實際上多了一個，就是起點，所以組成凸包的點個數是
// total - 1
}
Andrew 算法求凸包
首先把所有點以橫坐標為第一關鍵字，縱坐標為第二關鍵字排序。
顯然排序后最小的元素和最大的元素一定在凸包上。而且因為是凸多邊形，我們如果從一個點出發逆時針走，軌跡總是“左拐”的，一旦出現右拐，就說明這一段不在凸包上。因此我們可以用一個單調棧來維護上下凸殼。
因為從左向右看，上下凸殼所旋轉的方向不同，為了讓單調棧起作用，我們首先 升序枚舉 求出下凸殼，然后 降序 求出上凸殼。
求凸殼時，一旦發現即將進棧的點（ \(P\) ）和棧頂的兩個點（ \(S_1,S_2\) ，其中 \(S_1\) 為棧頂）行進的方向向右旋轉，即叉積小於 \(0\) ： \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\) ，則彈出棧頂，回到上一步，繼續檢測，直到 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}\ge 0\) 或者棧內僅剩一個元素為止。
通常情況下不需要保留位於凸包邊上的點，因此上面一段中 \(\overrightarrow{S_2S_1}\times \overrightarrow{S_1P}<0\) 這個條件中的“ \(<\) ”可以視情況改為 \(\le\) ，同時后面一個條件應改為 \(>\) 。
代碼實現
// stk[]是整型，存的是下標
// p[]存儲向量或點
tp = 0; //初始化棧
std::sort(p + 1, p + 1 + n); //對點進行排序
stk[++tp] = 1;
//棧內添加第一個元素，且不更新used，使得1在最后封閉凸包時也對單調棧更新
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
while (tp >= 2 //下一行*被重載為叉積
&& (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
used[stk[tp--]] = 0;
used[i] = 1; // used表示在凸殼上
stk[++tp] = i;
}
int tmp = tp; // tmp表示下凸殼大小
for (int i = n - 1; i > 0; --i)
if (!used[i]) {
// ↓求上凸殼時不影響下凸殼
while (tp > tmp && (p[stk[tp]] - p[stk[tp - 1]]) * (p[i] - p[stk[tp]]) <= 0)
used[stk[tp--]] = 0;
used[i] = 1;
stk[++tp] = i;
}
for (int i = 1; i <= tp; ++i) //復制到新數組中去
h[i] = p[stk[i]];
int ans = tp - 1;
根據上面的代碼，最后凸包上有 \(ans\) 個元素（額外存儲了 \(1\) 號點，因此 \(h\) 數組中有 \(ans+1\) 個元素），並且按逆時針方向排序。周長就是