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目錄
A數學體系概述、主要分支、學科分類(MSC)、構成聯系和應用數學簡介(62k字)
I. 數學體系分支概述
II. 數學體系主要分支
III. 美國數學會(AMS)官網《2010年數學學科分類》
IV. 數學體系的構成和各分支間的聯系
V. 應用數學
素材(1.2k字)
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數學體系概述、主要分支、學科分類(MSC)、構成聯系和應用數學簡介
文|秦隴紀，數據簡化DataSimp©20190804Sun0810Sat
科學理論研究、工程技術工作是離不開數學的。如果拋開具體的科學問題和工程場景，單純地學習數學知識，所用教材在教學中只有知識點干條條，就會顯得枯燥乏味，而國內的教育教學就是這種模式——一切學科分科簡化為經驗為主的語文知識。所以，大多國內學生刷題、考試、競賽很牛，但是真正運用到實際當中的能力非常弱。尤其國內科學研究者使用數學工具的能力依然較弱，其學術訓練從高等教育就不充分，不足以支撐面向真實場景和具體問題的數學思維能力。
本文雖然脫離具體的科學問題和工程場景介紹各個數學分支，但是根據 美國數學會(AMS)官網《 2010年數學學科分類》的 MSC2010和 MSC2020分類，結合國內數學體系分類文章，綜述數學學科體系分類情況，使得科技工作者形成框架性認知；以期幫助研究者在各領域應用、學科應用、學術應用、教學應用和科學研究中，定位數學工具所處理論位置。其中，MSC2010和MSC2020分類本身就是來源於純粹和應用數學，以及各種專業領域或學科相關研究中發展了的數學知識。
但若要形成科學研究能力——對具體自然、社會現象做出可以 觀察、描述，形式化為數學或科學理論表達形式，用 數學工具描述問題，進而做科學理論上的推論、證明、計算、演繹、歸納和結論，只有數學思維和工具能力是不夠的，必須對所研究問題能夠從宏觀到微觀科學思維並流程化——分解觀察、測量、表達、計算、證明的步驟，才能對具體現象或問題做出 實證或證偽。在 XX科學的討論中，經常看到很多教授、博導並不具備合格的科學研究思維，依然是用語言文字表達為主的識字思考型思維泛泛而談，用語文思想理論(這種理論並非科學理論)來思維、討論，甚至寫論文。
在非科學研究領域，即不采用嚴格數學工具的研究范式的學術研究領域，數學工具也有其應用，此處不作解讀(詳情請期待拙著《數據資源概述》和《數據簡化技術》)。綜合來說，數學工具在科學研究和學術研究中，都有舉足輕重的應用和作用。下面，我們從三大方面來綜述數學體系分支。
I. 數學體系分支概述
最早的數學是算術。算術是數學中最古老、最基礎和最初等的部分。它研究數的性質及其運算，是研究自然數(正整數)、分數、小數的簡單性質，及其加、減、乘、除、乘方、開方運算法則的一門學科。“算術”這個詞，在我國古代是全部數學的統稱。至於幾何、代數等許多數學分支學科的名稱，都是后來很晚的時候才有的。但西方則由算術進一步發展起整數論和代數學，加之對無窮、極限的思考和形式化表達，進而走向近世代數等更加抽象、多樣、完備的數學體系。
比如，人類從學會計數開始就一直和自然數打交道了，后來由於實踐的需要，數的概念進一步擴充，自然數被叫做正整數，而把它們的相反數叫做負整數，介於正整數和負整數中間的中性數叫做0。它們和起來叫做整數。西方數學分支(The Branches of Mathematicsby Western)由此展開，逐漸把中國數學遠遠超越到落后地區。中國數學研究圈子止步於實用主義，受制於大的文化背景和學術環境限制，無法理論突破和創造性地做學問、做研究，變成了只有看到西方數學成果而后，才去學習追趕的份。另外，數學教育也是實用主義和脫離實際，導致無法做純理論研究和提不起興趣。時至今日，中國依然沒有專業領域圈子導向的學術交流和科學研究土壤。
又比如，當今非常火的人工智能的三個分支：認知、機器學習、深度學習。其中代表性的機器學習，是一門集概率論、線性代數、數值計算、優化理論和計算機科學等多個領域的交叉學科。如果在本科及之前，沒有學習概念、記公式、解體數學知識、做數學證明，那么在本科或研究生階段就很難理解或應用機器學習方法，從現實任務出發，在短時間內使用概率與統計、線性代數和凸優化等數學基礎知識做出機器學習系統。還有人工智能數學基礎——最優化方法，人工智能的目標就是最優化：在復雜環境與多體交互中做出最優決策。幾乎所有的人工智能問題最后都會歸結為一個優化問題的求解，因而最優化理論是人工智能必備的基礎知識。
數學原本是很實實在在的理論學科——加減乘除平面立體幾何，很貼近自然事物和人類直觀思維，然而經歷了多年的發展卻已經變得越來越抽象，結果就是大多數人很難對數學的了解上升到更高水平。初等數學教育之后的高等數學教育，必須要有宏觀認知。
如果有人不相信數學是簡單的，那是因為他們沒有意識到人生有多復雜。——馮·諾依曼
簡單地說一下；高等數學中有“三低三高”之說，也就是指分析、代數和幾何三個分支。
其中，三低是指大學的基礎課程，
分析主要指 數學分析(包括實數理論、微積分理論、級數理論、微分方程等)，
代數主要指 高等代數(包括多項式理論、矩陣理論、向量空間、線性空間等)，
幾何主要指 空間解析幾何(包括投影幾何、仿射幾何等)；
三高是指對應三個基礎方面的提高性研究，
分析包括 實分析、復分析、泛函分析等，
代數包括 抽象代數(群、環、域等)還有一些特殊的 代數結構，
幾何主要指拓撲學以及利用分析和代數理論為工具研究的 拓撲空間(如微分幾何、黎曼幾何等等、辛幾何等等)。
三高三低的說法大致可以反映高等數學教學的一些概況，當也不完全合適。到了三高部分，各自的特色已經不那么明顯了。現代數學研究呈現出結構和分析兩大特色，在很多不同的領域都可以交叉使用。分析中融入了代數工具，如泛函空間也可以看作是代數空間。代數研究中也常采用分析的方法，如解析數論。而對幾何的研究更是建立在空間的基礎上用分析的手段來處理。
針對提出的問題；
高等幾何：研究包括空間圖形的數學形式的確定(如空間曲面的表示等)、空間圖形變換(也就是數學形式的變換)關系，其中變換有很多種。
群論基礎：群的概念是 抽象代數(也叫 近世代數)最基本的概念之一，群論研究的是群的結構形式和不同群之間的相互關系，如什么樣的代數可以構成群，群的元素個數，子群及其關系，群的同構等。
拓撲學：簡單地講就是研究連續變換下的不變量，展開來講就比較復雜了。
微分幾何：看名字就知道干嗎了。就是借助微分研究幾何，在微分幾何中，變量的概念會從傳統的標量、向量、泛函被推廣到＂流形＂組合數學：包括三個方面，組合分析、組合記數、組合設計。高中學的排列組合就是屬於組合記數的內容。
總之，數學說難很難，說不難也不是很難。數學的學習有着嚴格的邏輯關系，基礎不好后面的課程是根本學不好的。要想學后后續深入的課程必須把基礎打好，很多艱深的數學最后都是要化歸到基礎的微積分、線性代數來解決。
但不論國內還是國外知名高校，每個學校的安排都不會一樣！~數學專業各個方向的所學也不一樣，包括應用數學型學院校，數學各方向都有的全球大學鳳毛麟角。一般的學校，
大一：高等代數，數學分析，解析幾何；
大二：常微分方程，偏微分方程，變分法；實變函數，復變函數，泛函分析；近世代數，空間解析幾何，微分幾何，C語言或偽語言；
大三：數學物理方程，拓撲學，運籌學，微分幾何；數據結構，數學模型，數學分析，數值分析，數值逼近，數值代數，微分方程數值解，概率論基礎，數理統計，時間序列分析；
大四：概率論與數理統計，數據分析，運籌學，離散數學，隨機過程之類的等等，自己選擇。
高等數學不是數學的專業課，一般是非數學類的所學，里面包含了微積分，解析幾何，常微分等內容，比較概括，只注重計算。
數學分析是數學類基礎課，主要內容是微積分之類的，比高等數學講得要深，既要掌握定理證明，也注重計算能力。
線性代數是非數學類開的課程，高等代數是數學類專業課程，它比線性代數內容要深，兩門課都是講矩陣，線性方程組等內容。
數學中的許多計算是非常繁瑣的，特別是函數的作圖費時又費力，而且所畫的圖形很不規范，所以現在流行用三大數學軟件Mathematica和MATLAB、Maple來幫助研究者做數學處理。
下面，我們介紹一下最簡單的數學體系分支。
1..數學史
2.. 數理邏輯與數學基礎
a.. 演繹邏輯學亦稱符號邏輯學
b.. 證明論亦稱元數學
c.. 遞歸論
d.. 模型論
e.. 公理集合論
f.. 數學基礎
g.. 數理邏輯與數學基礎其他學科
3.. 數論
a.. 初等數論
b.. 解析數論
c.. 代數數論
d.. 超越數論
e.. 丟番圖逼近
f.. 數的幾何
g.. 概率數論
h.. 計算數論
i.. 數論其他學科
4.. 代數學
a.. 線性代數
b.. 群論
c.. 域論
d.. 李群
e.. 李代數
f.. Kac-Moody代數
g.. 環論包括交換環與交換代數，結合環與結合代數，非結合環與非結
合代數等
h.. 模論
i.. 格論
j.. 泛代數理論
k.. 范疇論
l.. 同調代數
m.. 代數K理論
n.. 微分代數
o.. 代數編碼理論
p.. 代數學其他學科
5.. 代數幾何學
6.. 幾何學
a.. 幾何學基礎
b.. 歐氏幾何學
c.. 非歐幾何學包括黎曼幾何學等
d.. 球面幾何學
e.. 向量和張量分析
f.. 仿射幾何學
g.. 射影幾何學
h.. 微分幾何學
i.. 分數維幾何
j.. 計算幾何學
k.. 幾何學其他學科
7.. 拓撲學
a.. 點集拓撲學
b.. 代數拓撲學
c.. 同倫論
d.. 低維拓撲學
e.. 同調論
f.. 維數論
g.. 格上拓撲學
h.. 纖維叢論
i.. 幾何拓撲學
j.. 奇點理論
k.. 微分拓撲學
l.. 拓撲學其他學科
8.. 數學分析
a.. 微分學
b.. 積分學
c.. 級數論
d.. 數學分析其他學科
9.. 非標准分析
10.. 函數論
a.. 實變函數論
b.. 單復變函數論
c.. 多復變函數論
d.. 函數逼近論
e.. 調和分析
f.. 復流形
g.. 特殊函數論
h.. 函數論其他學科
11.. 常微分方程
a.. 定性理論
b.. 穩定性理論
c.. 解析理論
d.. 常微分方程其他學科
12.. 偏微分方程
a.. 橢圓型偏微分方程
b.. 雙曲型偏微分方程
c.. 拋物型偏微分方程
d.. 非線性偏微分方程
e.. 偏微分方程其他學科
13.. 動力系統
a.. 微分動力系統
b.. 拓撲動力系統
c.. 復動力系統
d.. 動力系統其他學科
14.. 積分方程
15.. 泛函分析
a.. 線性算子理論
b.. 變分法
c.. 拓撲線性空間
d.. 希爾伯特空間
e.. 函數空間
f.. 巴拿赫空間
g.. 算子代數
h.. 測度與積分
i.. 廣義函數論
j.. 非線性泛函分析
k.. 泛函分析其他學科
16.. 計算數學
a.. 插值法與逼近論
b.. 常微分方程數值解
c.. 偏微分方程數值解
d.. 積分方程數值解
e.. 數值代數
f.. 連續問題離散化方法
g.. 隨機數值實驗
h.. 誤差分析
i.. 計算數學其他學科
17.. 概率論
a.. 幾何概率
b.. 概率分布
c.. 極限理論
d.. 隨機過程包括正態過程與平穩過程、點過程等
e.. 馬爾可夫過程
f.. 隨機分析
g.. 鞅論
h.. 應用概率論具體應用入有關學科
i.. 概率論其他學科
18.. 數理統計學
a.. 抽樣理論包括抽樣分布、抽樣調查等
b.. 假設檢驗
c.. 非參數統計
d.. 方差分析
e.. 相關回歸分析
f.. 統計推斷
g.. 貝葉斯統計包括參數估計等
h.. 試驗設計
i.. 多元分析
j.. 統計判決理論
k.. 時間序列分析
l.. 數理統計學其他學科
19.. 應用統計數學
a.. 統計質量控制
b.. 可靠性數學
c.. 保險數學
d.. 統計模擬
20.. 應用統計數學其他學科
21.. 運籌學
a.. 線性規划
b.. 非線性規划
c.. 動態規划
d.. 組合最優化
e.. 參數規划
f.. 整數規划
g.. 隨機規划
h.. 排隊論
i.. 對策論亦稱博弈論
j.. 庫存論
k.. 決策論
l.. 搜索論
m.. 圖論
n.. 統籌論
o.. 最優化
p.. 運籌學其他學科
22.. 組合數學
23.. 模糊數學
24.. 應用數學具體應用入有關學科
25.. 數學其他學科
最后，推薦幾本數學書籍。①《 數學》([英] 蒂莫西·高爾斯所著)，傳達主流數學的魅力，揭開數與空間的神秘面紗。從哲學高度展示數學思維方式，啟示你如何抽象思考。劍橋大學數學教授，“數學界諾貝爾獎”——菲爾茨獎得主蒂莫西·高爾斯著，中國科學院院士、著名數學學者李大潛推薦。②《 數學指南--實用數學手冊》(埃伯哈德·蔡德勒等編；李文林等譯)，一部暢銷歐美的數學手冊，內容全面而豐富，涵蓋分析學、代數學、幾何學、數學基礎、變分法與優化、概率論與數理統計、計算數學與科學計算、數學分析等。③《 代數的歷史》(J,Derbyshir)，代數之法，無論何數，皆可以任何記號代之。代數學最大的特點：引入了未知數，建立方程，對未知數加以運算。伽羅瓦群論(group)代數的范疇：算數初等。