題目簡述：給定一棵$n$（$2 \leq n \leq 10^5$為偶數）個節點的樹，以及$1 \leq k \leq n^2$。要求找到完全匹配$f: [n] \to [n]$，使得距離之和
$$ S(f) = \frac 1 2 \sum_{i \in [n]} \mathit{dis}(i, f(i)) = k, $$
其中，$[n] = \{1, 2, \dots, n\}$，$\mathit{dis}(u, v)$表示節點$u$與節點$v$的距離。
這里，一個完全匹配$f: [n] \to [n]$應滿足：$f(f(i)) = i$且$f(i) \neq i$。
解：
這題思路類似於CodeForces 1280C. Jeremy Bearimy ，CodeForces 1387B2. Village (Maximum)，AtCoder AGC 018 D. Tree and Hamilton Path。
對每一條邊$e$，我們考慮經過其的匹配個數$\mathit{c}_e$。設這條邊將樹分成大小為$x_e$和$y_e$的兩個部分，令$z_e = \min\{x_e, y_e\}$，則
- 至少有$z_e \bmod 2$個匹配經過$e$；
- 至多有$z_e$個匹配經過$e$。
綜上，我們有$z_e \bmod 2 \leq c_e \leq z_e$。因此，
$$ \sum_e (z_e \bmod 2) \leq S(f) \leq \sum_e z_e. $$
另一方面，
$$ S(f) = \frac 1 2 \sum_{i \in [n]} \left( \mathit{depth}(i) + \mathit{depth}(f(i)) - 2 \mathit{depth}(\mathit{lca}(i, f(i))) \right) \equiv \sum_{i \in [n]} \mathit{depth}(i) \equiv \sum_{e} z_e \pmod 2, $$
其中$\mathit{depth}(u)$為節點$u$的深度（根節點深度為$0$），$\mathit{lca}(u, v)$表示節點$u$與節點$v$的最近公共祖先。
至此，我們得到了有解的必要條件，即$\sum_e (z_e \bmod 2) \leq k \leq \sum_e z_e$且$k \equiv \sum_e z_e \pmod 2$。接下來，我們證明這個條件也是充分的，即若$k$滿足條件，則必存在一個完全匹配$f$使得$S(f) = k$。
為方便描述，我們設當前樹為$T$，令$L(T) = \sum_e (z_e \bmod 2)$，$R(T) = \sum_e z_e$。則我們要證
命題：對任意樹$T$以及自然數$k$，若$L(T) \leq k \leq R(T)$且$L(T) \equiv R(T) \equiv k \pmod 2$，則必存在一個完全匹配$f: [n] \to [n]$，使得$S_T(f) = k$。
我們采用數學歸納法。
基礎：當$n = 2$時，樹的形態只有一種，完全匹配$f$也只有一種，並且這種情況下$k$只能$=1$，這種情況的正確性是顯然的。
歸納：假設$n = 2m-2 (m \geq 2)$時命題成立，考慮$n = 2m$。我們取樹的重心$G$（如有多個，則取任意其中之一），並以$G$為根建樹，我們注意到此時
$$L(T) = \sum_{i \in [n] \setminus \{G\}} \mathit{size}(i) \bmod 2, $$
$$R(T) = \sum_{i \in [n] \setminus \{G\}} \mathit{size}(i),$$
其中$\mathit{depth}(u)$為節點$u$的深度（根節點深度為$0$），$\mathit{size}(u)$為節點$u$對應子樹的大小。
- 若$k = R(T)$，則直接求出樹的DFS序$r_i$（以任意節點為根的DFS序均可），應用移位技巧，將$r_i$與$r_{i+n/2}$匹配即可。
- 否則，我們取$G$的兒子$g$，使得$\mathit{size}(g)$最大（如有多個，則任取一個）。此時必有$\mathit{size}(g) \geq 2$（若不然，則$k = \sum_e z_e$，應是第一種情況）。我們取節點$w$為子樹$g$中深度最大且$\mathit{size}(w) \geq 2$的節點。
2.1. 若$k+2\mathit{depth}(w) \leq R(T)$，則
2.1.1. 若$w$有兩個以上兒子，任取其中兩個兒子$u$和$v$，則它們都是葉子節點。考慮將這兩個節點進行匹配並且從樹中刪除，設刪除$u$和$v$兩個葉子節點之后的樹為$T' = T_{u,v}$。此時，令$k' = k - \mathit{dis}(u, v) = k - \mathit{depth}(u) - \mathit{depth}(v) + 2\mathit{depth}(w) = k-2$。
2.1.2. 否則，$w$恰好有一個兒子$u$。考慮將這兩個節點進行匹配並且從樹中刪除，設刪除$u$和$v$兩個葉子節點之后的樹為$T' = T_{w,u}$。此時，令$k' = k - \mathit{dis}(w, u) = k - \mathit{depth}(w) - \mathit{depth}(v) + 2\mathit{depth}(w) = k-1$。
我們注意到，兩種情況得到的樹$T'$的重心仍然是$G$，並且問題化為節點數為$n' = n-2 = 2m-2$的問題，此時$k' \leq R(T')$。另一方面，
2.1.1. $L(T') = L(T) - 2$；
2.1.2. $L(T') = L(T) - 1$。
因此，$L(T') \leq k' \leq R(T')$且易證$L(T') \equiv k' \pmod 2$。根據歸納假設，存在樹$T'$上的完全匹配$f'$，使得$S_{T'}(f') = k'$。
2.1.1. $f = f' \cup \{(u, v)\}$；
2.1.2. $f = f' \cup \{(w, u)\}$。
即得$S_T(f) = k$。
2.2. 否則，必存在一個子樹$g$中的非葉節點$u$，使得$k+2\mathit{depth}(u) = R(T)$。選取節點$u$的一個兒子$v$，並匹配$u$和$v$。對剩下的節點，我們求出它們的DFS序，並按照 Case 1 的方式應用移位技巧即可。
結論：命題成立。
現在考慮如何構造出具體的完全匹配。在歸納法證明中，Case 1 和 Case 2.2 是直接的；Case 2.1 中，由於每次刪掉的兩個節點不會影響樹的結構（甚至重心不變），我們可以以重心為根建樹模擬即可。時間復雜度為$O(n)$。