針對graph的幾個定義：
Girth（\(\gamma(G)\)): shortest cycle
Independence number (\(\alpha(G)\)): graph中vertices都沒有相關關系（這里的定義是兩個結點之間沒有連接邊）的最大簇（也就是說graph中沒有相互關系邊，結點數目最多的結點集合）。
chromatic number（\(\chi(G)\)： 類似於bipartite graph擁有兩個顏色，這里說的是Graph G當中不同的結點分屬於不同的k的顏色類別，每個顏色類類別中的結點都不互相相連。
chromatic number與independence number擁有相關關系
Erd¨os-R´enyi Model：
模型定義： 圖的結點數目\(n\)，一條邊的概率\(p\)
markov's inequality（可以中期望的定義角度證明，從期望值會大於等於什么值反向證明）:
一般用\(Pr[\textit{X}\geq\textit{1}]\leq\textbf{E}[\textit{X}]\)
Union Bound：
Independence Number(存在一個上限值）
如果graph中每個vertex的degree最多為\(d\)，那么independent set最少是\(\frac{n}{d+1}\)
按照上面的色圖理解：如果是四色圖，因為同樣顏色的結點不能連接，所以四色圖結點最大的個數為3，從上面每個結點的degree最多是\(d\)，如果認為是d+1圖，那么最少每個independent set的大小為\(\frac{n}{d+1}\)
按照上面隨即圖的定義，總共n個結點，每條邊存在的概率為p，那么每個結點的平均degree為\(d=p(n-1)\)；
令p=1/2,那么G的independence number最大為\(3log_2n+1\)的概率值很大。
proof：g
令\(\varepsilon>0, k=[3log_2n+1],S_1, ..., S_z為子集，結點數目都為k，那么z=\binom{n}{k}, X_i為隨機變量（取值0,1，當S_i為independence\ set時為1）\)
令
\(S_i\)表征的是independence set，而且我們假設每個大小都為k，如果要滿足independence set的條件，那么這個集合當中，任意兩個結點在原來的graph當中都應該不是相連的，其中任意兩個結點都不連接的概率(\(p與k滿足上面假設\))為：
所以：
當n趨於無窮的時候，上述表達式趨向於0
所以：
事實上，\(\alpha(G)更加接近與2log_2n\)
更一般化而言：
利用\(1-p \leq e^{-p}\),當\(k=\frac{3lnn}{p}+1\)時
所以：
High Girth(graph的擁有high girth和high chromatic number）
\(girth:\ g, chromatic number:\ x\)，令\(p=n^{1/2g-1}\)
(舉例說明）這樣的隨機生成的graph，可能包含小的cycles，但是不會有很多，如果我們一處cycle長度達到g中的一個vertex，那么余下的graph中不會再用有小的環，但是這個圖至少還會有2/n個vertices。
\(G^\prime=(V^\prime, E^\prime)\)為上面以除了至多n/2個vertices之后的graph，G為原圖，令\(S\in V^\prime是G^\prime\)中的independent set，因此
而且，
從independent number可以知道，至少有3/4(該概率值計算需要進一步理解）的概率，或者說接近於1，
當滿足上述條件且\(V^\prime \geq n/2\),
當g的大小固定時，上式中的分子增長速度大於分母的增長速度，因此對與足夠大的\(n\)，\(\chi(G^\prime) \geq x\)
以下證明，G當中會存在少量長度為g的circle。
g-cycles: 有2g種描述，第一個結點有g個選擇，可以走不同的兩邊,總共存在的組合數目：
由於每條邊出現的概率為g，所以組合中每一個出現的概率值為\(p^g\),因此g-cycles存在的數量的期望值：
graph中存在長度為j的數量，當j<g時，期望數值會更少，當circle的長度，最長為g，那么期望存在的數目最多不會超過\(gn^{1/2}\);
按照markov's inequality
因為上面cycles的長度不超過g的期望值是\(gn^{1/2}\),那么在G中含有\(4gn^{1/2}\)個長度最長為g的cycles的概率值不會大於1/4(\(\frac{gn^{1/2}}{4gn^{1/2}}\))
當n足夠大能夠滿足\(4gn^{1/2} \leq n/2\)時，那么至少有3/4的概率，\(G^\prime\)最少會有n/2個結點（根據上面\(G^\prime\)的剩余規則）。
通過上面的構造，\(G^\prime\)的girth最少為g，有3/4的概率\(G^\prime\)至少有n/2個結點，至少有3/4的概率G的independence number為\(3n^{1-1/2g}lnn\)。
union bounds定律可以知道，independence number和girth都滿足上述條件的概率至少為1/2，也就是說，只有有1/2的概率\(G^\prime\)至少有\(n/2個vertices，\alpha(G)至少為3n^{1-1/2g}lnn,所以\chi(G) \geq x(當n足夠大時)\).
Giant Component:
Real-world graph通常會有一個component包含大部分的vertices，second-largest component會比這個小很多數量級。
這里用Erdos-renyi random graph來表明這個現象，這個large component叫做giant component。
model參數：\(p = c/(n-1)\), c為常數項，n
可變，所以每個vertex的degree的期望值為\(c(c/(n-1)*(n-1))\)。當c<1時，每個component可能會很小，最多擁有\(\textit{O}(logn)\)個vertices，當c>1時，這個graph可能會包含a constant fraction of vertices的連通分量。
當c從0-1變化時，graph property的也會發生改變(threshold phenomenon)
Concenration and chenoff Bounds
Chernoff(and Hoeffding) bounds都是中央集中定理（central limit theorem)：所有的獨立的隨機變量的和都是指數集中在他們的均值附近，他們不等式的形式依賴於隨機變量的類型。
Erdos-renyi model的隨機變量為bernoulli random variables。
定理 令\(X_1,...,X_n為獨立的Bernoulli（也就是說取值為0/1）\ random\ variables, 且Pr[X_i=1]=p_i。令X=\sum X_i，\mu=\sum p_i為X的期望值.那么對所有0<\delta<1，有\)
和
當\(p=clnn/(n-1)\),c>6時，vertex的期望degree為\mu=cln(n)。如果我們設\(\delta=\sqrt{6/c}<1\), 那么vertex的degree會超過$(1+\delta)\mu的概率值為:
degree大於\((c+\sqrt{6c})lnn以及degree小於(c-\sqrt{4c}）lnn\)的概率都最多為\(n^{-1}\).
Galton-Vaston process, binary case
通過細胞分裂的例子，分析后代存活數量。
每一次分裂，每一個個體的存活概率為\(p\),所以，第一代細胞的存活數量的期望值為\(2p\),第二代細胞的存活數量的期望值為\(4p^2\).
以此類推，k-th代細胞存活數量的期望值為\(2^kp^k=(2p)^k\).
當\(p<1/2\)時，存活梁會接近與0，\(p>1/2\)存活率為區域無窮（threshold phenomenon）。
\(p<1/2\)
令\(X^k\)為kth generation后代的counting number（random ariable），\(X^k\geq 1\)表明后代依舊存在:
\(p>1/2\)
\(\theta_k(p)\)為至少存在k-th generation的概率值，等同於k-1代至少存活一個后代。令\(A\)為first child存活到k-1代，\(B\)為second child存活到k-1代。
first child存活，並且至少有k-1個后代存活的概率為\(p\theta_{k-1}(p)\),(A,B事件發生的概率值都為\(\theta_k(p)\)）。
當\(k\)增長時，如果\(\theta_k(p)\)有一個增長上限\(q=2pq-(pq)^2\)，那么
因為\(\theta_0(p)=1, 從q的定義中可知，q能夠取到的最大值為1（p==1是），p越小q值越小, 所以 1=\theta_0(p)\geq q\),
對\(f(x)進行單調性分析可知，因為x的取值范圍為（0，1]，f(x)在此范圍內單調遞增，令f(q)=q，可知當x\in (q,1]時，f(x)\geq q\)
因為當\(k \geq 0, \theta_k(p)\geq q\).
\(a_n數列的下極限: lim\ inf\ a_n， 上極限lim\ sup\ a_n\)
\(\lim\inf\limits_{k\to\infty}\theta_k(p)=q\)
The Number of Descendants
現在每個細胞會分裂為k個后代，令\(p=c/k\),當\(c<1時屬於sub-critical\ regime，c>1時為super-critical\ regime\)
這里給每個后代進行編號，保證第j代的編號都小於第j+1代的編號。
\(X_{j,1}, ..., X{j,k}\)為bernoulli random variable, \(X_{j,i}=1\)，表示cell j的第i個child存活下來。最終存活的數量為\(u\).
chernoff bounds:
\(X^{(u)}\)的期望值為
上述變量\(X_{j,i}\)暫時不考慮Galton-Waston process，只考慮存在與否。
$令Z為first organism的后代，加1是為了最開始的organism（也可以認為把自身看成一個后代）。
c<1
\(當c<1時，\mu會顯著小於u值，並且Chernoff bounds也可以明顯表明，X^{(u)}不大可能大於u\)
根據chernoff bounds，可以計算出\(\delta\)取值，\(\delta=\frac{1}{c}-1\),
最終得到：
This is why all the components of \(g(n, p)\) in the sub-critical case probably have logarithmic size.
c>1
super-critical case, \(對與Z=u(u足夠大）的可能性非常小, 結論Z不小而且可能無窮大\)。
可以推出\(\delta=1-\frac{1}{c}\)
因此：
令
把所有有限series都相關，那么Z概率值花很大，但是還是有限值：
This is part of why the second-largest component of \(g(n,p)\) in the super-critical case probably has logarithmic size。
這意味着：
Galton Waston 總結
當\(p=c/k\)時
定理：
\(令Y為first\ organism生存下來的后代數量可以reproduce（但是不包含first organism), 如果c<1，那么對所有的u>0,有\)
\(Y與前面Z的差別為Y=Z-1\)
定理2：
\(Y定義如上，如果c>1,並且存在常量\beta_c, 不依賴於k，那么\)
以下分析，全部基於概率值\(p=c/k\)
c<1: all small components
將Erdos-renyi random graph與Galton-waston branching process結合，相當於選定一個vertex \(v\)，galton-waston過程有\(k=n-1\),（breath-first fashion）。令\(w\)為\(v\)的一個鄰居，\(j\)為\(v\)的鄰居數目，考慮連通分量的特性，實際上，\(w\)是否還直接連接\(v\)的鄰居對改連通分量沒有貢獻，所以此時\(w\)只需要關注其他的\(n-j-1\)個結點，也就是Galton-waston不是分裂成n-1，而是分裂成為n-j-1，這樣的變化帶了的影響就是該component更小了。對於\(v\)的其他鄰居，我們考慮同樣的他可分裂的后代不是\(v\)的潛在孩子。
（下面這段有點奇怪，還是得重新理解一下）
c>1: the giant component
\(p=c/n\)在這種情況下，圖中會出現很大的component，現在只考慮\(c \leq 2\)的問題。
從c<1 case中modified Galton-Watson process過程中已知，這個過程會減少component的大小，但是現在在c>1的情況下，我們想證明這個圖當中還是會存在大的component。
為了解決這個問題，設\(d=\sqrt{c}, 因為c>1, 所以d=c/n*n>1\), 這里會探索\(當k=(2-d)n, p^\prime = d/(n-1)時，cell\ v\ 存活的情況\)。
從上面已知，現在的\(k=(2-d)n,那么已經發現的vertices為n-k=(d-1)n, 當已經發現的節點數目為(d-1)n, 那么至少還存在(2-d)n個vertices存在\)。
（未完全理解）
v鄰居的Galton-Waston process的分裂中，如果其中的某一些cell分裂多於k個children，那么存活率會增加（這里是不是表明v前面沒有發現那么多個節點呢？？？）。這意為這他們更可能生成一個大的component，但是當發現了(1-d)n個節點之后，這個分析就無效了，但是也可以認為此時我們已經有了一個giant component。
當一個component的大小至少為(d-1)n的時候，存在constant chance, Galton-Watson process中會有一個無窮大的component。否則，size of component 大於\(\alpha lnn\)的概率最多為\(1/n^2\)。（我們可以假定這種情況下前者存在？？？）這種情況下，發現component中還沒有被放置的一個節點，通過logarithmic number的時間，我們很大的可能發現一個大的component。更多的時，logarathmic
number of small component 只會移除O(log^2n) 個vertices，對與大的n而言，這個數量可以忽略不計。
（為什么不大可能出現兩個大的component，是因為這兩者中間可能有邊連接。）
Graph with given degree distribution
Edos-renyi random graph的degree分布為binominal degree distribution，但是更多的graph的分布為長尾分布（heavy tails）。
這里甬道的圖利用的時fixing degree distribution， 也就是選擇一個random graph，圖符合\(k_i個vertices用有i個degree, \sum_i k_i=n. 隨機圖生成方式：對\)k_i$個節點設定i個socket，每次隨機選擇兩個socket，進行邊的連接，如果出現自環或者相同的邊，那么就再重新sample（開銷不大的時候)(Kim Wormald)
Diameter
事實上很多graph的周長都比較小。對於這種fixed degree distribution，只要最小的degree不是特別小，可能會擁有logarithmic diameter。只要最小的degree大於3就足夠了。
令\(\textit{S}\)時節點子集，如果\(|\textit{S}|\leq n/4\),那么\(\textit{S}\)的並集以及他的鄰居可能至少大小為\(2|\textit{S}|\)。也就是說，每個節點至少會有一個neighbor，these togetherprobably have 2 neighbors。
所以，\(只要滿足2^k < n/2, 每個節點可能至少在他的距離k以內有2^k個節點\)