在線性代數中，哈密爾頓–凱萊定理（英語：Cayley–Hamilton theorem）表明每個布於任何交換環上的實或復方陣都滿足其特征方程。
明確地說：設$A$為給定的$n \times n$矩陣，並設$I_n$為$n \times n$單位矩陣，則$A$的特征多項式定義為：
$f(\lambda) = det(\lambda I_n - A)$，其中$det$為行列式函數。
哈密爾頓-凱萊定理斷言：$f(A) = O$
例如，
考慮下述方陣：
$A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$
其特征多項式為
$p(\lambda)=\left|\begin{array}{cc} \lambda-1 & -2 \\ -3 & \lambda-4 \end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-4)-2 \cdot 3=\lambda^{2}-5 \lambda-2$
此時，可以直接驗證哈密爾頓-凱萊定理：
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
可用來求$A^k$
其實，反過來，
設$A$為方陣，$f(A)=0 \Rightarrow f(\lambda ) = 0$.
例如，
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
$\because Ax = \lambda x$
$\because A^2x = A\lambda x = \lambda Ax = \lambda ^2 x$
$\therefore (A^{2}-5 A-2 I_{2})x = \lambda ^2x - 5\lambda x - 2x = (\lambda ^2 - 5\lambda -2)x$
$\because (\lambda ^2 - 5\lambda -2)x = 0, \ x \neq 0$
$\therefore \lambda ^2 - 5\lambda -2 = 0$
可用來求特征值