NOI2020 游記
兩位捧杯爺鎮樓。
背景
省選day1T1爆零的情況下意外混進了省隊（D類）。
做了往年的題，感覺自己實力確實不太夠。比如說，2018年的簽到題（kruskal重構樹）和2019年的簽到題（斜率優化），憑我自己的能力都無法做出（“思維”和“算法的積累”兩方面來講，都是題目難度>我的水平）。
2016和2017年的題，我倒是能做出一兩道（比如2016的Day2T1“區間”和2017Day1T2的蚯蚓排隊），但是也有簽到題我做不出來（比如2016的Day1T1“優秀的拆分”我只會90分；2017的Day2T1“游戲”我只想到先\(3^d\)枚舉再2-SAT，看了題解才知道可以優化為先\(2^d\)再2-SAT）。
上述列舉的這些都是當年的“簽到題”，更不必說更難的題了，我只能打打暴力。
事實上，按照往年的情況，如果做出了這些簽到題，暴力不掛分的話，就能拿到銀牌了。不過壞消息是簽到題似乎一年比一年難了...
Day-1（8.16），Day0（8.17），大家都在一起快樂狼人殺。然后都被李曙查水表了。
試機的題是：NOI2019 Day1T2機器人，NOI2019 Day1T3 序列，NOI2019 Day2T3 I君的商店。
試機后，大家聊天的句式都是：“哎，明天會不會要考xxx啊，如果考xxx我就沒了啊...。我沒了啊...”。其中“xxx”可以是任何一種我聽都沒聽過的算法，可能已經遠高於歷年NOI的難度了，我不知道大家為什么都要這么說...。是為了搞別人心態嗎？還是為了顯示自己聽過別人不知道的算法呢？
哎，可能大家只是習慣性地假...
晚上李曙給我囑咐了幾句：兩天都會各有一道簽到題，爭取拿到70分。剩下的題每道題打30分暴力。每天130分，就能穩拿Ag了。
正好我的目標也是拿到Ag。所以對這番分析深以為然。
Day1
\(50+32+40=122\)
昨晚10點就睡了，半夜4:19醒了一次，又睡到6:40自然醒起床。可以說睡眠是很充足的，考試時精神也很好。上午考試前李曙給我們拍了個合照，本來我和djq站在一起，然后李曙一波安排，我就和dxm換了位置（你品，你細品 /滑稽）。
本着先在簽到題拿高分的想法，我先看T1。是個圖論題，而且沒什么想法（我好像經常對圖論題毫無思路...，無論這題本身是什么難度...）。我想是不是以1為根，搜出dfs樹，然后看有沒有環？然后對環做背包？看上去很奇怪，於是先看T2。
T2雖然題面很長，但看下來倒是覺得非常自然，也很好懂。看到前幾個點\(m\)很小，一下就能想到做容斥。我粗略地以為時間復雜度是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)，然后以為自己能拿到40分。然后就繼續去看T3了。此時時間大概是8:18。
T3是個“很多維數點”...。看起來是個數據結構題。\(O(nm\log n)\)是很簡單的（考完后聽別人一說才想到，做個二維前綴和就變成\(O(nm)\)了。不過得分是一樣的，所以也不重要，只是體現了我智商很低...）。部分分A（\(c_1=1,c_2=n\)），我想了想，離線？樹套樹？分治？貌似都不對。好像可以莫隊，不過是\(O((n+m)\sqrt{n}\log {n})\)的，不知道能不能過\(10^5\)...。沒太多想，就先去寫T2暴力了。
先寫了個\(O(2^n)\)暴力。因為后面不管些什么都可以用它拍。寫完這個9:06。然后繼續寫“\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)暴力”。發現自己一開始想錯了，這個暴力並不是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)而是\(O(2^m\cdot n)\)。可能只能拿20分，這就要低於李曙給我定的計划了。於是又進一步想想，發現可以用樹鏈剖分優化到\(O(2^mm\log^2n)\)，期望拿到32分。雖然比之前以為的40分低了一些，但還是達到了李曙說的30分。
T2似乎后面還能再搞一個樹形DP：\(dp[i][j]\)表示第\(i\)個點向上的前\(j\)條邊里必須至少有一個重要邊。我不太清楚它是\(O(n^2)\)還是\(O(n^3)\)的，不過應該還能再拿到一些分。但是看分不多我又不是很確定，就先沒寫這個。決定穩妥一點，先寫T1,T3暴力，最后再寫這個DP。此時9:52（畢竟寫樹鏈剖分還是要花不少時間的）。
再看T1，首先發現我原來那個“找出所有環然后做背包”的思路徹底假了，因為環的數量可以是指數級的。不過很快驚喜地發現可以直接在圖上做DP：設\(dp[i][j]\)表示第\(i\)天到達節點\(j\)，能獲得的最大收益。轉移直接枚舉出邊即可。時間復雜度\(O(T(n+m))\)。可以得到40分。然后又發現下面兩點：圖是一個環的部分分很簡單，於是寫了。
現在是10:44，T1總共有50分。感覺不錯，先去上了個廁所。此時想到，\(T\)這么大，應該是矩陣快速冪。不過10秒鍾后，我把自己否決了。我在草稿紙上寫下：矩陣快速冪(x)：max不能矩乘。考完試才知道是我naive了。哎，完美地記錄了我的無知...
雖然T1沒拿到預期的70分，不過我看沒有除快速冪外的其他思路，就沒有繼續糾結，轉而去寫T3部分分。\(O(nm\log n)\)的部分分就是用樹狀數組維護，非常好寫。部分分A，我思考以后發現分治、樹套樹，這些似乎都不靠譜，於是嘗試去寫sqrt log的莫隊。寫完以后一測大樣例，沒過！我又對拍了小數據，才發現是我樹狀數組寫錯了。簡而言之就是，改變了不該改變的參數，偷懶沒有使用替身變量導致的錯誤（都是平時習慣不好，如果函數都寫const int& 就沒這個問題了）。又自己造了一組\(10^5,2\times10^5\)的隨機數據，實測3.2s左右，感覺能過（下午查分發現只跑了1.8s）。
搞完這些，已經12:15了。這時候我發現一個大問題，T1的對拍的時候，因為一些不熟悉linux系統而導致的錯誤，我的程序其實沒拍上...。修正了這個錯誤后，我重新對拍了T1,T2。T2過拍了。T1卻沒有過。（一開始搞錯了，以為兩個都沒有過。反正那2分鍾還挺刺激的）。好在發現T1是個小錯誤，改了就好了。
12:40左右試圖開始寫T2的樹形DP部分分。但是時間不夠了，沒寫完。最后就檢查了一下文件啥的，提交提交，就結束了。
嗯。整個過程大概就是這樣了。雖然分比同學低不少，但是沒有掛分。又想到我的同學都是集訓隊水平，所以我感覺，也還行？然后李曙又笑嘻嘻地說不錯不錯（雖然他和誰都這么說），所以我還挺開心的。
Day2
\(0+20+5=25\)
昨天聽說比銀牌線略差一點。那今天要加把勁了。我計划不惜一切代價猛干T1，其實這個計划無比正確，只可惜我沒有堅持執行。后面我們會分析到原因。
先來看看比賽過程。開場看T1。理解了題意后，最開始以為是網絡流，但是立即就發現不對。
於是嘗試某種貪心。一種想法是，可以將所有原料排好序，然后最大的和最小的匹配。其實這就是\(m=n-1\)時的正解，並且可以修改后得到本題正解。但我只是憑空猜出來這個貪心，而沒有注意到\(m\)與\(n\)的關系。所以我手玩一下小樣例，發現最后一個點過不去，就放棄了這種做法（於是就遠離正解了...）。
后來又猜了一種貪心，嘗試枚舉一個斷點，斷點左邊的第一個和右邊的第一個配，第二個和第二個配，以此類推...。不過這個好像也不太對。我寫了一半放棄了。這里有一點心得，感覺不太對的算法基本寫着寫着都會假掉。因為如果是正解，你一定可以想好每一個細節，或者說，它的每一個細節都是“經得起檢視的”。如果你自己對這個算法都“支支吾吾”，無法實現出細節，那它肯定就不對了。
此時大概一個小時過去了。因為T2題面太長，T3看起來又像是我不擅長的圖論題，於是決定繼續看T1：寫T1的暴力。最朴素的想法是，枚舉\(m\)道菜里每道菜用了哪兩種原料（或者第二種不用）。那么枚舉量是\(n^m\cdot (n+1)^m\)，似乎只能過最小的\(n,m\leq 4\)的點。並且，枚舉完之后還無法計算出每種原料具體給每道菜分配多少，可能還需要高斯消元？我沒細想，但這個作為最低檔的部分分也太離譜了，於是就沒寫。
然后我又想了一個暴力，它基於的猜想是，所有可行的方案，都可以被描述為\(n\)種原料的一個排列，按這個排列排好后，依次把原料倒入每一道菜就能得到這個方案。朴素枚舉所有排列的話，復雜度是\(O(n!\cdot (n+m))\)的，看起來可以通過\(n,m\leq 10\)的分，並且看起來很有優化前途：既然是排列，那么我們可以隨機交換兩項，看是否變優，也就是用模擬退火算法來做。
於是我立刻動手寫了這個枚舉全排列的暴力。可惜它過不了第二個樣例...。我仔細想了一下，它確實是不對的，只要有一種\(d_i\)很大的原料，這種構造方式就不一定能得到最優方案了。於是，剛剛想到的所有優化前途都泡湯了...
此時已經10:00左右，我決定放棄T1，去看看T2, T3。
T2題面雖然長，但還是好懂的。
本題顯然是需要結論的，否則怎么面對“無窮”這個概念呢？計算機的算力再強，如果只用朴素的枚舉，也無法對抗無窮啊！
然而我就是一直沒想到什么靠譜的結論。可能是我的分析能力還不太夠；也可以說我對本題，只是看懂了定義，卻對這個定義沒有一個感性的理解，導致想了很久，還是徘徊在原點...
好在根據數據范圍，判樣例可以拿到12分，這可比T1的暴力分好拿多了。我基於這個樣例，瞎寫了一些東西。我猜測，一組樹可行，當且僅當存在某一層，滿足：任意一個“這層所有節點的子集”，都能對應為，某棵樹在這一層上的所有葉子節點。
然后這個結論，我也不知道是太強了還是太弱了，既不知道充分性也不知道必要性。反正我只知道它能過小樣例（\(1\sim 4\)）但是過不了其他樣例。但既然能過樣例\(1\sim 3\)，那得分肯定不會低於12分，於是就交了這個。事實上它得了20分。
寫完T2這一通東西，時間還剩最后一個小時了。我趕緊去看T3。我以前完全不知道弦圖這個概念，也不知道任何性質。后來知道，A部分分是直接輸出最短路，但這個可能也不太好猜？反正我在考場上完全沒想到。
我看到部分分B是以一條鏈為主干，我以為可以做一個，類似於在序列上DP的東西。寫了一下，發現假了，完全不對。
最后時間不夠了，只能全刪掉，改成輸出-1。得到了5分。
於是這場比賽就遺憾的結束了。最后T1的那個全排列假做法也沒來得及改，交上去得了0分。我全場就暈頭暈腦地寫了個T2假結論，還有T3輸出-1騙了5分。
總結分析
結局：銀牌線\(274\)。我\(247\) Cu了。
Day1，主要還是打得太保守了。可能是什么都要拍，就導致進展非常慢。但是我確實拍出來一個小錯誤（T1），並且最后我也沒掛分，打滿了我自己認為的暴力，所以說明對拍還是很重要的。
那么我的分析是，是否可以盡可能先想到更高的分，再動手開始寫。這樣寫完正解，還是寫個小暴力來拍，就比我現在的情況要好。我現在是先寫個40分暴力，再寫個10分暴力和它拍，然后如果再要寫正解，那可能一共就要寫3個程序了，有點來不及。
下次應該嘗試一下，先硬想一個小時，想出正解（或者較高部分分）的思路，這樣就可以省去“40分暴力”的這個環節。
當然，這與我水平的提高，也就是能不能想到，也是有很大關系的。
我們事后來看Day2，其實大家分都很低。主要的區分度就在T1，能不能做出來或者拿到較高的分。
這個題的特點是，沒留什么純暴力分，沒法爆搜或者枚舉。逼着你想結論，哪怕只是一個部分的結論（比如\(m=n-1\)的那個）。當然，如果你只是純靠猜（和我一樣），那你一定會因為樣例而懷疑自己的結論。所以說到底還是要靠分析。
如果從事后的角度分析，我就算Day2爆零也能拿Cu，結果並不會變差。而如果專注干T1，則有機會想出正解，拿到銀牌。所以我的策略可以說，傻了。當然，這里面既有運氣的成分，也有不會判斷題目難度而導致的考場決策力不行。
綜合這兩天來看，主要的問題都是：中等題做不出來。這里“中等題”，指的就是Day1T1，Day2T1，這種NOI比賽里的“簽到題”。但客觀地講，即使是NOI最簡單的題，也是有一定難度的，所以我稱之為中等題。
回家以后要多練這種，有一定難度，有思維要求，並且綜合了多種算法的OI題。它們可能在平時nfls六校聯考的模擬賽中，可能在LOJ里的各種真題中，可能在CF的div1 D,E,F里...。要勇於把它們啃下來，才能進一步提高實力。