NOI2020 游记
两位捧杯爷镇楼。
背景
省选day1T1爆零的情况下意外混进了省队（D类）。
做了往年的题，感觉自己实力确实不太够。比如说，2018年的签到题（kruskal重构树）和2019年的签到题（斜率优化），凭我自己的能力都无法做出（“思维”和“算法的积累”两方面来讲，都是题目难度>我的水平）。
2016和2017年的题，我倒是能做出一两道（比如2016的Day2T1“区间”和2017Day1T2的蚯蚓排队），但是也有签到题我做不出来（比如2016的Day1T1“优秀的拆分”我只会90分；2017的Day2T1“游戏”我只想到先\(3^d\)枚举再2-SAT，看了题解才知道可以优化为先\(2^d\)再2-SAT）。
上述列举的这些都是当年的“签到题”，更不必说更难的题了，我只能打打暴力。
事实上，按照往年的情况，如果做出了这些签到题，暴力不挂分的话，就能拿到银牌了。不过坏消息是签到题似乎一年比一年难了...
Day-1（8.16），Day0（8.17），大家都在一起快乐狼人杀。然后都被李曙查水表了。
试机的题是：NOI2019 Day1T2机器人，NOI2019 Day1T3 序列，NOI2019 Day2T3 I君的商店。
试机后，大家聊天的句式都是：“哎，明天会不会要考xxx啊，如果考xxx我就没了啊...。我没了啊...”。其中“xxx”可以是任何一种我听都没听过的算法，可能已经远高于历年NOI的难度了，我不知道大家为什么都要这么说...。是为了搞别人心态吗？还是为了显示自己听过别人不知道的算法呢？
哎，可能大家只是习惯性地假...
晚上李曙给我嘱咐了几句：两天都会各有一道签到题，争取拿到70分。剩下的题每道题打30分暴力。每天130分，就能稳拿Ag了。
正好我的目标也是拿到Ag。所以对这番分析深以为然。
Day1
\(50+32+40=122\)
昨晚10点就睡了，半夜4:19醒了一次，又睡到6:40自然醒起床。可以说睡眠是很充足的，考试时精神也很好。上午考试前李曙给我们拍了个合照，本来我和djq站在一起，然后李曙一波安排，我就和dxm换了位置（你品，你细品 /滑稽）。
本着先在签到题拿高分的想法，我先看T1。是个图论题，而且没什么想法（我好像经常对图论题毫无思路...，无论这题本身是什么难度...）。我想是不是以1为根，搜出dfs树，然后看有没有环？然后对环做背包？看上去很奇怪，于是先看T2。
T2虽然题面很长，但看下来倒是觉得非常自然，也很好懂。看到前几个点\(m\)很小，一下就能想到做容斥。我粗略地以为时间复杂度是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)，然后以为自己能拿到40分。然后就继续去看T3了。此时时间大概是8:18。
T3是个“很多维数点”...。看起来是个数据结构题。\(O(nm\log n)\)是很简单的（考完后听别人一说才想到，做个二维前缀和就变成\(O(nm)\)了。不过得分是一样的，所以也不重要，只是体现了我智商很低...）。部分分A（\(c_1=1,c_2=n\)），我想了想，离线？树套树？分治？貌似都不对。好像可以莫队，不过是\(O((n+m)\sqrt{n}\log {n})\)的，不知道能不能过\(10^5\)...。没太多想，就先去写T2暴力了。
先写了个\(O(2^n)\)暴力。因为后面不管些什么都可以用它拍。写完这个9:06。然后继续写“\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)暴力”。发现自己一开始想错了，这个暴力并不是\(O(2^m\cdot \text{poly}(m))\)而是\(O(2^m\cdot n)\)。可能只能拿20分，这就要低于李曙给我定的计划了。于是又进一步想想，发现可以用树链剖分优化到\(O(2^mm\log^2n)\)，期望拿到32分。虽然比之前以为的40分低了一些，但还是达到了李曙说的30分。
T2似乎后面还能再搞一个树形DP：\(dp[i][j]\)表示第\(i\)个点向上的前\(j\)条边里必须至少有一个重要边。我不太清楚它是\(O(n^2)\)还是\(O(n^3)\)的，不过应该还能再拿到一些分。但是看分不多我又不是很确定，就先没写这个。决定稳妥一点，先写T1,T3暴力，最后再写这个DP。此时9:52（毕竟写树链剖分还是要花不少时间的）。
再看T1，首先发现我原来那个“找出所有环然后做背包”的思路彻底假了，因为环的数量可以是指数级的。不过很快惊喜地发现可以直接在图上做DP：设\(dp[i][j]\)表示第\(i\)天到达节点\(j\)，能获得的最大收益。转移直接枚举出边即可。时间复杂度\(O(T(n+m))\)。可以得到40分。然后又发现下面两点：图是一个环的部分分很简单，于是写了。
现在是10:44，T1总共有50分。感觉不错，先去上了个厕所。此时想到，\(T\)这么大，应该是矩阵快速幂。不过10秒钟后，我把自己否决了。我在草稿纸上写下：矩阵快速幂(x)：max不能矩乘。考完试才知道是我naive了。哎，完美地记录了我的无知...
虽然T1没拿到预期的70分，不过我看没有除快速幂外的其他思路，就没有继续纠结，转而去写T3部分分。\(O(nm\log n)\)的部分分就是用树状数组维护，非常好写。部分分A，我思考以后发现分治、树套树，这些似乎都不靠谱，于是尝试去写sqrt log的莫队。写完以后一测大样例，没过！我又对拍了小数据，才发现是我树状数组写错了。简而言之就是，改变了不该改变的参数，偷懒没有使用替身变量导致的错误（都是平时习惯不好，如果函数都写const int& 就没这个问题了）。又自己造了一组\(10^5,2\times10^5\)的随机数据，实测3.2s左右，感觉能过（下午查分发现只跑了1.8s）。
搞完这些，已经12:15了。这时候我发现一个大问题，T1的对拍的时候，因为一些不熟悉linux系统而导致的错误，我的程序其实没拍上...。修正了这个错误后，我重新对拍了T1,T2。T2过拍了。T1却没有过。（一开始搞错了，以为两个都没有过。反正那2分钟还挺刺激的）。好在发现T1是个小错误，改了就好了。
12:40左右试图开始写T2的树形DP部分分。但是时间不够了，没写完。最后就检查了一下文件啥的，提交提交，就结束了。
嗯。整个过程大概就是这样了。虽然分比同学低不少，但是没有挂分。又想到我的同学都是集训队水平，所以我感觉，也还行？然后李曙又笑嘻嘻地说不错不错（虽然他和谁都这么说），所以我还挺开心的。
Day2
\(0+20+5=25\)
昨天听说比银牌线略差一点。那今天要加把劲了。我计划不惜一切代价猛干T1，其实这个计划无比正确，只可惜我没有坚持执行。后面我们会分析到原因。
先来看看比赛过程。开场看T1。理解了题意后，最开始以为是网络流，但是立即就发现不对。
于是尝试某种贪心。一种想法是，可以将所有原料排好序，然后最大的和最小的匹配。其实这就是\(m=n-1\)时的正解，并且可以修改后得到本题正解。但我只是凭空猜出来这个贪心，而没有注意到\(m\)与\(n\)的关系。所以我手玩一下小样例，发现最后一个点过不去，就放弃了这种做法（于是就远离正解了...）。
后来又猜了一种贪心，尝试枚举一个断点，断点左边的第一个和右边的第一个配，第二个和第二个配，以此类推...。不过这个好像也不太对。我写了一半放弃了。这里有一点心得，感觉不太对的算法基本写着写着都会假掉。因为如果是正解，你一定可以想好每一个细节，或者说，它的每一个细节都是“经得起检视的”。如果你自己对这个算法都“支支吾吾”，无法实现出细节，那它肯定就不对了。
此时大概一个小时过去了。因为T2题面太长，T3看起来又像是我不擅长的图论题，于是决定继续看T1：写T1的暴力。最朴素的想法是，枚举\(m\)道菜里每道菜用了哪两种原料（或者第二种不用）。那么枚举量是\(n^m\cdot (n+1)^m\)，似乎只能过最小的\(n,m\leq 4\)的点。并且，枚举完之后还无法计算出每种原料具体给每道菜分配多少，可能还需要高斯消元？我没细想，但这个作为最低档的部分分也太离谱了，于是就没写。
然后我又想了一个暴力，它基于的猜想是，所有可行的方案，都可以被描述为\(n\)种原料的一个排列，按这个排列排好后，依次把原料倒入每一道菜就能得到这个方案。朴素枚举所有排列的话，复杂度是\(O(n!\cdot (n+m))\)的，看起来可以通过\(n,m\leq 10\)的分，并且看起来很有优化前途：既然是排列，那么我们可以随机交换两项，看是否变优，也就是用模拟退火算法来做。
于是我立刻动手写了这个枚举全排列的暴力。可惜它过不了第二个样例...。我仔细想了一下，它确实是不对的，只要有一种\(d_i\)很大的原料，这种构造方式就不一定能得到最优方案了。于是，刚刚想到的所有优化前途都泡汤了...
此时已经10:00左右，我决定放弃T1，去看看T2, T3。
T2题面虽然长，但还是好懂的。
本题显然是需要结论的，否则怎么面对“无穷”这个概念呢？计算机的算力再强，如果只用朴素的枚举，也无法对抗无穷啊！
然而我就是一直没想到什么靠谱的结论。可能是我的分析能力还不太够；也可以说我对本题，只是看懂了定义，却对这个定义没有一个感性的理解，导致想了很久，还是徘徊在原点...
好在根据数据范围，判样例可以拿到12分，这可比T1的暴力分好拿多了。我基于这个样例，瞎写了一些东西。我猜测，一组树可行，当且仅当存在某一层，满足：任意一个“这层所有节点的子集”，都能对应为，某棵树在这一层上的所有叶子节点。
然后这个结论，我也不知道是太强了还是太弱了，既不知道充分性也不知道必要性。反正我只知道它能过小样例（\(1\sim 4\)）但是过不了其他样例。但既然能过样例\(1\sim 3\)，那得分肯定不会低于12分，于是就交了这个。事实上它得了20分。
写完T2这一通东西，时间还剩最后一个小时了。我赶紧去看T3。我以前完全不知道弦图这个概念，也不知道任何性质。后来知道，A部分分是直接输出最短路，但这个可能也不太好猜？反正我在考场上完全没想到。
我看到部分分B是以一条链为主干，我以为可以做一个，类似于在序列上DP的东西。写了一下，发现假了，完全不对。
最后时间不够了，只能全删掉，改成输出-1。得到了5分。
于是这场比赛就遗憾的结束了。最后T1的那个全排列假做法也没来得及改，交上去得了0分。我全场就晕头晕脑地写了个T2假结论，还有T3输出-1骗了5分。
总结分析
结局：银牌线\(274\)。我\(247\) Cu了。
Day1，主要还是打得太保守了。可能是什么都要拍，就导致进展非常慢。但是我确实拍出来一个小错误（T1），并且最后我也没挂分，打满了我自己认为的暴力，所以说明对拍还是很重要的。
那么我的分析是，是否可以尽可能先想到更高的分，再动手开始写。这样写完正解，还是写个小暴力来拍，就比我现在的情况要好。我现在是先写个40分暴力，再写个10分暴力和它拍，然后如果再要写正解，那可能一共就要写3个程序了，有点来不及。
下次应该尝试一下，先硬想一个小时，想出正解（或者较高部分分）的思路，这样就可以省去“40分暴力”的这个环节。
当然，这与我水平的提高，也就是能不能想到，也是有很大关系的。
我们事后来看Day2，其实大家分都很低。主要的区分度就在T1，能不能做出来或者拿到较高的分。
这个题的特点是，没留什么纯暴力分，没法爆搜或者枚举。逼着你想结论，哪怕只是一个部分的结论（比如\(m=n-1\)的那个）。当然，如果你只是纯靠猜（和我一样），那你一定会因为样例而怀疑自己的结论。所以说到底还是要靠分析。
如果从事后的角度分析，我就算Day2爆零也能拿Cu，结果并不会变差。而如果专注干T1，则有机会想出正解，拿到银牌。所以我的策略可以说，傻了。当然，这里面既有运气的成分，也有不会判断题目难度而导致的考场决策力不行。
综合这两天来看，主要的问题都是：中等题做不出来。这里“中等题”，指的就是Day1T1，Day2T1，这种NOI比赛里的“签到题”。但客观地讲，即使是NOI最简单的题，也是有一定难度的，所以我称之为中等题。
回家以后要多练这种，有一定难度，有思维要求，并且综合了多种算法的OI题。它们可能在平时nfls六校联考的模拟赛中，可能在LOJ里的各种真题中，可能在CF的div1 D,E,F里...。要勇于把它们啃下来，才能进一步提高实力。