線性規划 | 用實例展示Matlab和lingo求解線性問題的差異

一、線性規划

什么是線性規划問題？

線性規划是在一系列的線性條件的約束下，從而規定了可行解，在通過具體的目標函數，求得滿足函數的最優解 。
例如平常的線性規划函數的例子：

在matlab中使用matlab標准的格式：

若是目標函數是求解最大值的話，則取-C形式：
例如線性規划：

的MATLAB標准型為：

二、linprog函數

在matlab中，linprog函數可以求解線性規划問題，用於尋找目標函數的最小值。
matlab中，規划模型的標注寫法如下：

（1）[x,fval] = linprog(f,A,b)

用於求解：

（2）[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq)
用於求解：

如果沒有等式存在，就用[]代替Aeq和beq。

（3）[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用於求解：

返回的x為所求的結果，fval為最值。
linprog中fval都是求最小值，這個要記住。
A和b是不等式約束條件的參數。
Aeq和beq是等式約束條件的參數。
lb和ub為x取值的取值范圍。

例如：
a+b+c<30
c<15
b<10
函數：max f = 10a+20b+30c
因為linprog求的是最小值，我們將原式改為：
f = -(10a+20b+30c)
這樣我們有了函數f=[-10;-20;-30];，然后：
根據約束條件不等式，有：
A = [1 1 1;
0 0 1;
0 1 0] ;
b = [30;15;10] ;
但這樣算出來的結果大家會發現是小數，也可能是負數。
因此我們加入a、b、c取值的上下限：
lb = [0 0 0]
ub = [30 30 30]
如果在計算中需要得到小數的結果，只要寫成0.00或者30.00就可以了，最后帶入函數計算就可以了。

三、intlinprog函數

intlinprog()是matlab中用於求解混合整數線性規划(Mixed-integer linear programming)的一個函數，用法基本和linprog差不多。
語法：

x=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

與linprog相比，多了參數intcon,代表了整數決策變量所在的位置。
例如：

四、Lingo軟件

LINGO是用來求解線性和非線性優化問題的簡易工具。
所有代碼在 Lingo Model - Lingo 1中編寫，寫完后點擊工具條上的紅色的靶子運行。

例如：

代碼：

max=x1+x2;
x1+9/14*x2<=51/14;
-2*x1+x2<=1/3;
@gin(x1);@gin(x2);
end

 

LINGO提供了大量的標准數學函數

@abs(x) 返回x 的絕對值
@sqrt() 開方
@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制
@cos(x) 返回x 的余弦值
@tan(x) 返回x 的正切值
@exp(x) 返回常數e 的x 次方
@log(x) 返回x 的自然對數
@lgm(x) 返回x 的gamma 函數的自然對數
@sign(x) 如果x<0 返回-1；否則，返回1
@floor(x) 返回x的整數部分。當x>=0 時，返回不超過x 的最大整數；當x<0
時，返回不低於x 的最大整數。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最小值

變量界定函數
變量界定函數實現對變量取值范圍的附加限制，共4種
@bin(x) 限制x 為0 或1 — 用於0-1規划
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消對變量x 的默認下界為0 的限制，即x 可以取任意實數
@gin(x) 限制x 為整數
在默認情況下，LINGO 規定變量是非負的，也就是說下界為0，上界為+∞。@free 取消
了默認的下界為0的限制，使變量也可以取負值。@bnd用於設定一個變量的上下界,它也可 以取消默認下界為0的約束。
注意：
LINGO總是根據“MAX=”或“MIN=”尋找目標函數；
程序語句的順序一般不重要，既可以隨意調換；
程序運用函數時都是以@開頭；
程序中的變量默認為非負數，想要改變變量類型必須有相應函數調整
程序中變量不區分大小寫；
語句必須以分號結尾；
注釋以!開始，且注釋語句后面必須也有分號，注釋默認注釋到第一個分號處，意思是分號前面會全部被注釋掉。

五、實例

根據外場改裝合同要求，改裝備件需於每季度末分別提供10、15、25、30。已知該專業廠各季度末的生產能力及每套產品的成本構成，如果專業廠生產出的備件當季不能交付，每套積壓一季度需存儲、維護等的費用0.15萬元，建立一個數學模型，要求在完成合同的情況下，使該全年生產（包括存儲、維護）費用最小。

解：
設x_ij為第i季度生產的用於第j季度交貨產品的數量，則由題意得：
x_11=10
x_12+x_22=15
x_13+x_23+x_33=25
x_14+x_24+x_34+x_44=30

又由生產能力的要求，有
x_44<=10
x_33+x_34<=30
x_22+x_23+x_24<=35
x_11+x_12+x_13+x_14<=25

再設c_ij表示第i季度生產的用於第j季度交貨的每台產品的實際成本，其值如下表：

目標函數為：
min f = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;

MATLAB求解：

上式中，Aeq為左邊的矩陣，beq為等號右邊的向量；

上式中，A為左邊的矩陣，b為等號右邊的向量；

% 線性規划問題
% 目標函數：
% minF = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25 + x14 + ...
%    11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + ...
%    11 * x33 + 11.15 * x34 + ...
%    11.30 * x44;

minfun = [10.8 ,10.95 , 11.10 , 11.25 ,11.10 ,11.25,11.40 ,11,11.15,11.30]';
Aeq = zeros(10);
Aeq(1,1) = 1;
Aeq(2,2) = 1;  Aeq(2,5) = 1;
Aeq(3,3) = 1;  Aeq(3,6) = 1;  Aeq(3,8) = 1;
Aeq(4,4) = 1;  Aeq(4,7) = 1;  Aeq(4,9) = 1;  Aeq(4,10) = 1;
beq = [10,15,25,30,0,0,0,0,0,0]';
A = zeros(10);
A(1,1) = 1; A(1,2) = 1; A(1,3) = 1; A(1,4) = 1;
A(2,5) = 1; A(2,6) = 1; A(2,7) = 1;
A(3,8) = 1; A(3,9) = 1;
A(4,10) = 1;
b = [25,35,30,10,0,0,0,0,0,0]';
[x,y]=intlinprog(minfun,1:10,A,b,Aeq,beq,zeros(10,1)',[]); 
disp('x的值為：');  x
disp('最小值為：');  y

　　

運行結果：

x的值為：

10
 0
15
 0
15
 0
 0
10
20
10

最小值為：

887

Lingo求解：

min=10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;
x11=10;
x12+x22=15;
x13+x23+x33=25;
x14+x24+x34+x44=30;
x11+x12+x13+x14<=25;
x22+x23+x24<=35;
x33+x34<=30;
x44<=10;
end

運行結果：

 

 

最小值為：887

由此可見，MATLAB和lingo所求的最優解一致，但是每個變量值x並不一樣，說明規划有多組解。
不足之處，請多指教！

 首發：https://blog.csdn.net/Aubrey_yt/article/details/107866348

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