【讀書筆記】排列研究-逆序對

目錄

• 生成函數
• 一開始的一些值
• 遞歸方程
• 遞歸方程-續
• 由生成函數找$b(n,k)$的顯式表達式
  • Explicit formula
  • 書里所給證明的思路
• major index
• 聯系行列式很是典型的那種定義
• 聯系二分圖的完美匹配
• 多重集構成的排列的逆序對

生成函數

舉例，比如\(n=3\)

排列有123，132，213，231，312，321

逆序對數分別是0，1，1，2，2，3

\[x^0+x^1+x^1+x^2+x^2+x^3=(1+x)(1+x+x^2) \]

課本給出的一個簡單的證明是使用數學歸納法：

當\(n=2\)時，當然\(1+x\)

如果對\(n-1\)成立的話，那么考慮n-1排列的\(n\)個位置插入元素\(n\)，分別會使逆序對數+0，+1，+2，+3，...，+(n-1)。這就解釋了GF又乘上\(1+x+...+x^{n-1}\)

記\(b(n,k)\)是\(I_n(x)\)的\(x^k\)前的系數，也是長度為\(n\)且逆序對數為\(k\)的排列的個數

一開始的一些值

http://oeis.org/A008302

遞歸方程

此遞歸方程的適用條件是\(n\geq k\)

證明是說考察n+1-排列的最后一個元素：

如果是\(n+1\),那么\(n+1\)在的數對不貢獻，

所以【n+1-排列且k個逆序對，with最后一個元素是\(n+1\)】的數目和【n-排列且k個逆序對】構成bijection(變換只是末尾刪/增\(n+1\))，數目相等。

 
如果不是\(n+1\)，\(n+1\)在前n個數里。把\(n+1\)和緊跟其后的元素交換，逆序對數目會減少1，這樣得到的新的n+1-排列與原來的n+1-排列構成bijection，數目自然一致。

操作后的序列是【n+1-排列且k-1個逆序對，with第一個元素不是\(n+1\)】，按理來說我們應該算這種序列有多少個。但是如果強加上\(n\geq k\),這樣【n+1-排列且k-1個逆序對】的第一個元素肯定不能是\(n+1\)了，改為數數【n+1-排列且k-1個逆序對】

於是，【n+1-排列且k個逆序對，with最后一個元素不是\(n+1\)】的數目和【n+1-排列且k-1個逆序對】數目相等。

遞歸方程-續

28. Let \(n<k \leq\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)\). Prove that

\[b(n+1, k)=b(n+1, k-1)+b b(n, k)-b(n, k-n-1) \]

吐槽一下這個抽風印刷，另一個地方tu ple 還分開寫。。。。

由生成函數找\(b(n,k)\)的顯式表達式

Explicit formula

直接出擊，由生成函數的形式聯想到有限制的把\(k\)分解成\(n-1\)部分的compositon

\[\begin{array}{ll} b(n, 0)=1=\left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) \\ b(n, 1)=n-1=\left(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right) & n \geq 1 \\ b(n, 2)=\left(\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}\right), & n \geq 2 \\ b(n, 3)=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}\right) & n \geq 3 \\ b(n, 4)=\left(\begin{array}{c} n+2 \\ 4 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 2 \end{array}\right) & n \geq 4 \\ b(n, 5)=\left(\begin{array}{c} n+3 \\ 5 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n+2 \\ 3 \end{array}\right)+1 & n\geq 5 \end{array} \]

然后就猜啊這個\(b(n,k)\)的形式是不是就是簡單的組合數正負交錯和的形式啊？

答案是否定的，形式比我們想的還要復雜一點

五邊形數是啥意思啊，是\(\frac{1}{2}\left(3 j^{2} \pm j\right)\)的形式

書里所給證明的思路

書里給出的證明是說先證明這個 Euler's formula

\[\begin{aligned} f(x)=(1-x)\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{3}\right) \cdots &=1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-\cdots \\ &=\sum_{j>-\infty}^{\infty}(-1)^{j} x^{\left(3 j^{2}+j\right) / 2} \end{aligned} \]

然后因為研究的GF可以寫成這樣的形式

\[I_{n}(x)=\prod_{i=1}^{n}\left(1+x+\cdots x^{i-1}\right)=\prod_{i=1}^{n} \frac{1-x^{i}}{1-x} \]

所以

\[f(x) \cdot(1-x)^{-n}=f(x) \cdot \sum_{h \geq 0}\left(\begin{array}{c} n+h-1 \\ h \end{array}\right) x^{h}=I_n(x) \]

\[\sum_{j>-\infty}^{\infty}(-1)^{j} x^{\left(3 j^{2}+j\right) / 2}\cdot \sum_{h \geq 0}\left(\begin{array}{c} n+h-1 \\ h \end{array}\right) x^{h}=I_n(x) \]

比對可知\(b(n,k)\)（即\(I_n(x)\)中\(x^k\)項系數）有這樣的形式

\[b(n, k)=\sum_{j}(-1)^{j}\left(\begin{array}{c} n+k-d_{j}-1 \\ k-d_{j} \end{array}\right) \]

major index

說一個排列的逆序對數還可能由其他的看起來的很不相關的統計推導出來

定義一個排列的major index是所有的降位的下標和

舉例一個排列是352461，那么它的降位置集是[2,5]，因此，此排列的major index是7

值得注意的是，只是說分布是一樣的，一個permutation的逆序對數和major index不一定相等

我都呆了我都，這為啥也能相等啊。。。。。1916年說它們數目一樣，到1968年才找到bijection.證明太長了這里不放了
找到構造的那篇論文地址

聯系行列式很是典型的那種定義

\[\operatorname{det} A_{i j}=\sum_{q}(-1)^{i(q)}{a_{1 q_{1}}} a_{2 q_{2}} a_{3 q_{3}} \cdots a_{n q_{n}} \]

聯系二分圖的完美匹配

先空着

多重集構成的排列的逆序對

資料來自網絡

書用的是Combinatorics of permutations by Miklos Bona