介紹統計學中的一元和多元線性回歸，並通過EXCEL自帶的統計函數LINEST、INDEX進行手工計算，再通過EXCEL數據分析工具包進行自動計算。
由於很多復雜的EXCEL自動化程序，需要用到自動化計算，EXCEL數據分析工具並不適用自動計算，反而EXCEL統計函數是很容易實現批量自動計算。
所以本文重點介紹EXCEL統計函數的使用。
統計學上的線性回歸原理簡介
回歸是研究一個隨機變量y對另一個(x)或一組(x1，x2，…，xn)變量的相依關系的統計分析方法。其中y又叫因變量，x叫自變量。
簡單的記憶方法：x是自身可以變動的，y是因為x的變化而變化的，就不會把自變量和因變量的意義搞亂。
線性回歸是自變量與因變量之間是線性關系的回歸。
一般來說，因變量只有一個，自變量會有一個或多個。下面就按因變量的數量及類別為分：一元線性回歸、多元線性回歸。
一元線性回歸
一元線性回歸是指一個因變量y只與一個自變量x有相關關系，通過公式可以表示為如下圖：
其中a稱為斜率，b稱為截距。
它的意思是當x增減一個單位時，y會同樣增減a個單位的x，如a＝2時，x增加一個單位，y就增加2個單位x。
通過EXCEL統計函數LINEST來實現一元線性回歸分析，在EXCEL的A1到B10輸入如下數據：
| x | y |
|---|---|
| 1.1 | 200 |
| 1.9 | 245 |
| 2.5 | 367 |
| 4 | 400 |
| 4.5 | 550 |
| 5 | 540 |
| 5.9 | 667 |
| 7 | 770 |
| 1 | 210 |
使用LINEST線性回歸函數進行手工計算。
LINEST函數可通過使用最小二乘法計算與現有數據最佳擬合的直線，來計算某直線的統計值，然后返回描述此直線的數組。
也可以將 LINEST 與其他函數結合使用來計算未知參數中其他類型的線性模型的統計值，包括多項式、對數、指數和冪級數。因為此函數返回數值數組，所以必須以數組公式的形式輸入。
LINEST語法
LINEST(known_y’s, [known_x’s], [const], [stats])
- Known_y’s 必需。關系表達式 y = mx + b 中已知的 y 值集合。如果 known_y’s 對應的單元格區域在單獨一列中，則 known_x’s 的每一列被視為一個獨立的變量。如果 known_y’s 對應的單元格區域在單獨一行中，則 known_x’s 的每一行被視為一個獨立的變量。
- Known_x’s 可選。關系表達式 y = mx + b 中已知的 x 值集合。known_x’s 對應的單元格區域可以包含一組或多組變量。如果僅使用一個變量，那么只要 known_y’s 和 known_x’s 具有相同的維數，則它們可以是任何形狀的區域。如果使用多個變量，則 known_y’s 必須為向量（即必須為一行或一列）。如果省略 known_x’s，則假設該數組為 {1,2,3,…}， 其大小與 known_y’s 相同。
- const 可選。一個邏輯值，用於指定是否將常量 b 強制設為 0。如果 const 為 TRUE 或被省略，b 將按通常方式計算。如果 const 為 FALSE，b 將被設為 0，並同時調整 m 值使 y = mx。
- stats 可選。一個邏輯值，用於指定是否返回附加回歸統計值。如果 stats 為 TRUE，則 LINEST 函數返回附加回歸統計值，這時返回的數組為 {mn,mn-1,…,m1,b;sen,sen-1,…,se1,seb;r2,sey;F,df;ssreg,ssresid}。如果 stats 為 FALSE 或被省略，LINEST 函數只返回系數 m 和常量 b。
附加回歸統計值如下：
| 統計值 | 說明 |
|---|---|
| se1,se2,…,sen | 系數 m1,m2,…,mn 的標准誤差值。 |
| seb | 常量 b 的標准誤差值（當 const 為 FALSE 時，seb = #N/A）。 |
| r2 | 判定系數。y 的估計值與實際值之比，范圍在 0 到 1 之間。如果為 1，則樣本有很好的相關性，y 的估計值與實際值之間沒有差別。相反，如果判定系數為 0，則回歸公式不能用來預測 y 值。 |
| sey | Y 估計值的標准誤差。 |
| F | F 統計或 F 觀察值。使用 F 統計可以判斷因變量和自變量之間是否偶爾發生過可觀察到的關系。 |
| df | 自由度。用於在統計表上查找 F 臨界值。將從表中查得的值與 LINEST 函數返回的 F 統計值進行比較可確定模型的置信區間。有關如何計算 df 的信息，請參閱本主題下文中的“說明”。 |
| ssreg | 回歸平方和。 |
| ssresid | 殘差平方和。 |
下面的圖示顯示了附加回歸統計值返回的順序。
在任意單元格中輸入=LINEST(B2:B10,A2:A10,TRUE,TRUE)，計算得出來的結果為94.33。Linest函數直接計算，返回的是第一個自變量的系數，LINEST返回的是一個數組，即上述的圖表。
如果要通過EXCEL數組來實現這種功能。選定A14:B18,在EXCEL地址欄輸入=LINEST(B2:B10,A2:A10,TRUE,TRUE)，然后同時按CTRL+SHIFT+ENTER，返回一個表格，表格中的每個單元格的公式顯示為：{=LINEST(B2:B10,A2:A10,TRUE,TRUE)}
| 94.34 | 93.92 |
| 6.20 | 25.89 |
| 0.97 | 37.62 |
| 231.78 | 7 |
| 328,061.71 | 9,907.85 |
對應上表及上述的圖，解釋上表的各個參數的意義。
- 94.34就是x的系數a，
- 93.92為截距b，
- 6.2為x的系數a的標准誤差值，
- 25.89為截距（常量）b的標准誤差值，
- 0.97為相關系數，
- 37.62為y估計值的標准誤差，
- 231.78為F統計值
- 7為自由度，
- 328061.71為回歸平方和，
- 9907.85為殘差平方和。
上述返回的統計值，最常用的是自變量的系數a和常量b，如果在EXCEL自動化程序中，很少會用上述的返回一個表格的方式，因為LINEST返回的是一個數組，可以通過index函數取得數組中的每一個值。
x的系數a可以在任意單元格式輸入=INDEX(LINEST(B2:B10,A2:A10,TRUE,TRUE),1,1)，截距b可以在任意單元格式輸入=INDEX(LINEST(B2:B10,A2:A10,TRUE,TRUE),1,2)，index函數第一個參數是指定一個數組，第二和第三個參數是指定返回的行列位置。
所以上述的一元線性回歸的擬合直線函數為y=94.34x+93.92，相關系數為0.97。
多元線性回歸
多元線性回歸是指一個因變量y只與多個自變量x有線性相關關系，通過公式可以表示為如下圖：
a為每個自變量對因變量y的影響因素，我們以二元線性回歸為例，用EXCEL函數LINEST進行分析。數據如下，填充在EXCEL的A1:C10中。
| x1 | x2 | y |
|---|---|---|
| 4 | 1.1 | 200 |
| 7 | 1.9 | 245 |
| 11 | 2.5 | 367 |
| 14 | 4 | 400 |
| 19 | 4.5 | 550 |
| 22 | 5 | 540 |
| 22 | 5.9 | 667 |
| 25 | 7 | 770 |
| 5 | 1 | 210 |
選定A14:C18，在地址欄中輸入=LINEST(C2:C10,A2:B10,TRUE,TRUE)，按CTRL+SHIFT+ENTER，返回一個表格，表格中的每個單元格的公式顯示為：{=LINEST(C2:C10,A2:B10,TRUE,TRUE)}，如下表：
| 69.17 | 6.88 | 87.37 |
| 34.05 | 9.14 | 28.11 |
| 0.9732 | 38.84 | #N/A |
| 109.00 | 6.00 | #N/A |
| 328,916.50 | 9,053.05 | #N/A |
此表格和一元線性回歸的表格一樣，只是多了一列，因為多了一個自變量。多出一列的內容是另一個自變量的系數和它的標准誤差值。同樣可以通過用INDEX函數取得數據的每一個值。根據上表可以得到擬合的線性回歸函數y=69.17×1+6.88×2+87.37
用EXCEL數據分析工具進行回歸分析
接下來通過EXCEL數據分析工具實現上述一元線性回歸分析的計算，並可以驗證上述的計算過程。如果你的EXCEL中找不到數據分析，請先為EXCEL添加數據分析工具的加載宏。
- 選中A1:B10，打開數據分析，選中“回歸”后，點擊“確定”按鈕。
- 按下圖填寫好自變量X、因變量Y的區域A1:A10,B1:B10，選擇“標志”，意思是說表格中包括有表頭字段，填寫輸出區域A26,點擊“確定”后即可。
- 結果如下，可以清晰的看到用LINEST計算出來的結果與數據分析工具分析得到的結果是一樣的。
原文鏈接：http://www.statr.cn/?p=82