gcd詳解

簡述

　　給你兩個數a和b，要求求出a和b的最大公約數。為了解決這個問題，我們可以想到很多方法，窮舉法，輾轉相除法，更相減損法等。這里我們詳解介紹窮舉法和輾轉相除法。

問題描述

　　我們把問題用數學語言進行描述：已知整數a和b，求一數k滿足a%k==0&&b%k==0，且k要盡可能大。

窮舉法

　　因為k小於等於a和b，所以我們可以從a和b選一個數開始進行窮舉，這里我們選擇較小的那個數，因為k一定小於等於較小那個數。

int gcd(int a,int b){
    int num=min(a,b);
    for(int i=num;i>=1;i--){
        if(a%i==0&&b%i==0) 
            return i;
    }
}

　　這個算法的時間復雜度為O(min(a,b)),因為最多會執行min(a,b)次，當a和b特別大的時候，這個程序是很慢的。

輾轉相除法

　　輾轉相除法又稱歐幾里得算法，這是我們小學就學過的算法，古希臘數學家歐幾里德在其著作《The Elements》中最早描述了這種算法,所以被命名為歐幾里德算法，又在九章算術里描述為輾轉相除法。

　　我們現在將求a和b兩個數的最大公約數定義為函數gcd(a,b)。

　　輾轉相除法的算法思想是，gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，當b為0時gcd(a,b)為a。不斷重復gcd(a,b)=gcd(b,a%b)則b終會等於0，最后求出等式的結果。

　　例如我們現在要求gcd(9,12),則可以寫出以下的過程：

　　gcd(9,12)=gcd(12,9%12)=gcd(12,9)=gcd(9,12%9)=gcd(9,3)=gcd(3,9%3)=gcd(3,0)=3

int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

　　輾轉相除法的時間復雜度為O(logn)，證明省略。

輾轉相除法的證明

　　為什么gcd(a,b)=gcd(b,a%b)呢？

　　我們設gcd(a,b)=k，r=a%b。

　　可得a=sk，b=tk，s和t互質，a=bq+r，q為正整數。

　　左帶入右得sk=tkq+r，整理得r=k(s,tq)，所以k也是r的因子。

　　我們可以將求gcd(a,b)的過程理解為求a和b兩個因數集合里最大的相同數，將gcd(a,b)=gcd(b,a%b)過程可以理解為使用一個r代替b，使得b變小但r的因數集里包含最大公約數k，一直減小到0時，當時的a就是我們求的k了。

　　我們開看一張gif圖，兩條線段的長度分別代表a和b，里面的一小段代表最大公約數，現在演示如何用輾轉相除法求最大公約數。