數據分析之正態分布檢驗及python實現
一、總結
一句話總結：
就是非常簡單的用正態分布的公式畫個圖即可，簡單方便：y_sig = np.exp(-(x - u) ** 2 / (2 * sig ** 2)) / (math.sqrt(2 * math.pi) * sig)
二、數據分析之正態分布檢驗及python實現
轉自或參考：數據分析之正態分布檢驗及python實現
https://blog.csdn.net/u010199356/article/details/87873596
正態分布（Normal distribution），也稱“常態分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有着重大的影響力。
正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、方差為σ2的正態分布，記為N(μ，σ2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。
正太性檢驗
利用觀測數據判斷總體是否服從正態分布的檢驗稱為正態性檢驗，它是統計判決中重要的一種特殊的擬合優度假設檢驗。
直方圖初判 / QQ圖判斷 / K-S檢驗
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
% matplotlib inline
直方圖初判
s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
print(s.head())
# 創建隨機數據
fig = plt.figure(figsize = (10,6))
ax1 = fig.add_subplot(2,1,1) # 創建子圖1
ax1.scatter(s.index, s.values)
plt.grid()
# 繪制數據分布圖
ax2 = fig.add_subplot(2,1,2) # 創建子圖2
s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
plt.grid()
# 繪制直方圖
# 呈現較明顯的正太性
這里的直方圖呈現出非常明顯的正態分布特性。
QQ圖判斷
# QQ圖通過把測試樣本數據的分位數與已知分布相比較，從而來檢驗數據的分布情況
# QQ圖是一種散點圖，對應於正態分布的QQ圖，就是由標准正態分布的分位數為橫坐標，樣本值為縱坐標的散點圖
# 參考直線：四分之一分位點和四分之三分位點這兩點確定，看散點是否落在這條線的附近
# 繪制思路
# ① 在做好數據清洗后，對數據進行排序（次序統計量：x(1)<x(2)<....<x(n)）
# ② 排序后，計算出每個數據對應的百分位p{i}，即第i個數據x(i)為p(i)分位數，其中p(i)=(i-0.5)/n （pi有多重算法，這里以最常用方法為主）
# ③ 繪制直方圖 + qq圖，直方圖作為參考
s = pd.DataFrame(np.random.randn(1000)+10,columns = ['value'])
print(s.head())
# 創建隨機數據
mean = s['value'].mean()
std = s['value'].std()
print('均值為：%.2f，標准差為：%.2f' % (mean,std))
print('------')
# 計算均值，標准差
s.sort_values(by = 'value', inplace = True) # 重新排序
print(s.head())
s_r = s.reset_index(drop = False) # 重新排序后，更新index
print("----------\n", s_r.head())
s_r['p'] = (s_r.index - 0.5) / len(s_r)
s_r['q'] = (s_r['value'] - mean) / std
print(s_r.head())
print('------')
# 計算百分位數 p(i)
# 計算q值
# st = s['value'].describe()
# x1 ,y1 = 0.25, st['25%']
# x2 ,y2 = 0.75, st['75%']
# print('四分之一位數為：%.2f，四分之三位數為：%.2f' % (y1,y2))
# print('------')
# # 計算四分之一位數、四分之三位數
# fig = plt.figure(figsize = (10,9))
# ax1 = fig.add_subplot(3,1,1) # 創建子圖1
# ax1.scatter(s.index, s.values)
# plt.grid()
# # 繪制數據分布圖
# ax2 = fig.add_subplot(3,1,2) # 創建子圖2
# s.hist(bins=30,alpha = 0.5,ax = ax2)
# s.plot(kind = 'kde', secondary_y=True,ax = ax2)
# plt.grid()
# # 繪制直方圖
# ax3 = fig.add_subplot(3,1,3) # 創建子圖3
# ax3.plot(s_r['p'],s_r['value'],'k.',alpha = 0.1)
# ax3.plot([x1,x2],[y1,y2],'-r')
# plt.grid()
# # 繪制QQ圖，直線為四分之一位數、四分之三位數的連線，基本符合正態分布
KS檢驗，理論推導
使用K-S檢驗一個數列是否服從正態分布、兩個數列是否服從相同的分布
https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/4090456.html
使用K-S檢驗一個數列是否服從正態分布、兩個數列是否服從相同的分布
data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
76,77,78,92,75,80,78]
# 樣本數據，35位健康男性在未進食之前的血糖濃度
df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean()
std = df['value'].std()
print("樣本均值為：%.2f，樣本標准差為：%.2f" % (u,std))
print('------')
# 查看數據基本統計量
s = df['value'].value_counts().sort_index()
df_s = pd.DataFrame({'血糖濃度':s.index,'次數':s.values})
# 創建頻率數據
df_s['累計次數'] = df_s['次數'].cumsum()
df_s['累計頻率'] = df_s['累計次數'] / len(data)
# len(data)
df_s['標准化取值'] = (df_s['血糖濃度'] - u) / std
df_s['理論分布'] =[0.0244,0.0968,0.2148,0.2643,0.3228,0.3859,0.5160,0.5832,0.7611,0.8531,0.8888,0.9803] # 通過查閱正太分布表
df_s['D'] = np.abs(df_s['累計頻率'] - df_s['理論分布'])
dmax = df_s['D'].max()
print("實際觀測D值為：%.4f" % dmax)
# D值序列計算結果表格
df_s['累計頻率'].plot(style = '--k.')
df_s['理論分布'].plot(style = '--r.')
plt.legend(loc = 'upper left')
plt.grid()
# 密度圖表示
df_s
下面是正態分布表和顯著性對照表
因為樣本數為35，大於30且小於50，所以p值在這個區間
另外的，由於D值為0.1597. 大於0.158，小於0.197，且樣本數量接近於30.所以我們可以認為P值的取值區間在0.20 - 0.40
滿足p > 0.5的情況，所以服從正態分布。
直接用算法做KS檢驗
from scipy import stats
# scipy包是一個高級的科學計算庫，它和Numpy聯系很密切，Scipy一般都是操控Numpy數組來進行科學計算
data = [87,77,92,68,80,78,84,77,81,80,80,77,92,86,
76,80,81,75,77,72,81,72,84,86,80,68,77,87,
76,77,78,92,75,80,78]
# 樣本數據，35位健康男性在未進食之前的血糖濃度
df = pd.DataFrame(data, columns =['value'])
u = df['value'].mean() # 計算均值
std = df['value'].std() # 計算標准差
stats.kstest(df['value'], 'norm', (u, std))
# .kstest方法：KS檢驗，參數分別是：待檢驗的數據，檢驗方法（這里設置成norm正態分布），均值與標准差
# 結果返回兩個值：statistic → D值，pvalue → P值
# p值大於0.05，為正態分布
此時，pvalue > 0.05，不拒絕原假設。因此上面的數據服從正態分布。且一般情況下， stats.kstest(df[‘value’], ‘norm’, (u, std))一條語句就得到p值的結果。