二叉樹的結點計算題

二叉樹的性質：

• 非空二叉樹上葉子結點數等於雙分支結點數加1【n₀=n₂+1】
• 非空二叉樹的第i層上最多有2^i-1個結點
• 高度h的二叉樹最多有2^h-1個結點
• 編號為i的結點，左孩子編號2i，右孩子編號2i+1
• n個結點的完全二叉樹高度為log₂(n+1)或[log₂n]+1
• 總結點數=總分支數（所有結點度之和）+1

1、一顆有n個結點的樹的所有結點的度數之和為多少？

所有結點度數之和=n-1

2、已知一顆完全二叉樹的第6層（設根為第1層）有8個葉子結點，則該完全二叉樹的結點個數最多是多少？最少是多少？

已知：完全二叉樹葉子結點只可能在最下兩層

結點最多情況：1~6層構成滿二叉樹，則其結點總數（該滿二叉樹）為2⁶-1=63個

第6層有2^6-1=32個

其中，有8個葉子結點，則32-8=24個非葉子結點

非葉子結點有2個孩子（考慮最多）均在第7層為葉子結點

第7層有2×24=48個葉子結點

(總結點個數)_max=48+63=111個

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結點最少情況：第6層為倒數第1層

1~5層構成滿二叉樹，結點總數2⁵-1=31個

其中，第6層為8個葉子結點

(結點總個數)_min=31+8=39個

3、一顆有124個葉子結點的完全二叉樹最多有多少個結點？

2^7-1=64,2^8-1=128,結論：完全二叉樹不是滿二叉樹，因此完全二叉樹有8層，除去底層，此二叉樹有2⁷-1=127個結點

設n為最底層結點個數。則：

n為偶數，n+64-n/2=124,n=120,則此樹共有127+120=247個結點

n為奇數，n+64-(n+1)/2=124,n=121,則此樹共有127+121=248個結點

4、具有1000個結點的完全二叉樹的次底層的葉子結點個數為多少？

由log₂(n+1)可以算出：1000個結點的完全二叉樹有10層

該樹上面9層是滿的，有2⁹-1=511個結點

由n₀=n₂+1，n₀+n₂為奇數，當n為偶數時，n₁=1

所以，n=n₀+n₁+n₂=2n₀-1+n₁=1000 得出n₀=500

其中，有1000-511=489分布在第10層，11個分布在第9層

所以，次底層葉子結點個數為11

5、若在一顆完全二叉樹中對所有結點按層次自上向下，同一層次自左向右進行編號，根結點編號為0，現有兩個不同的結點，它們的編號為q和p，那么判斷它們在同一層的條件應該是？

按照公式，編號為i（從0開始）的結點所在層號為log₂(i+1)

當兩個結點位於同一層，就有[log₂(p+1)]+1=[log₂(q+1)]+1,即[log₂(p+1)]=[log₂(q+1)]

若編號從1開始，則[log₂(p)]=[log₂(q)]

6、含有60個葉子結點的二叉樹的最小高度為多少？

n₀=60 ,n₂=n₀-1=59

n=n₀+n₁+n₂=119+n₁

當n₁=0為完全二叉樹，高度最小

h=log₂(n+1)=log₂120=7

所以最小高度為7

7、已知一顆滿二叉樹結點個數為20~40，此二叉樹葉子結點有多少個？

已知：一顆滿二叉樹結點個數為2^h-1

即20≤2^h-1≤40

h=5

則葉子結點在最底層為：2^5-1=16個