/*
8.6 二叉排序樹：在創建樹的時候就構建一個有序的樹
特點：
1.若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結構的值；
2.若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根節點的值；
3.它的左、右子樹也分別為二叉排序樹
構建一顆二叉排序樹的目的，其實並不是為了排序，而是為了提高查找和插入刪除關鍵字的速度。不管怎么說，在一個有序數據集上的查找，
速度總是要快於無序的數據集的，而二叉排序樹這種非線性的結構，也有利於插入和刪除的實現。
*/
/*
8.6.1 二叉排序樹查找操作
首先我們提供一個二叉樹結構
*/
typedef struct BiTNode
{
//結點數據
int data;
//左右孩子指針
struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
//然后我們來看看二叉排序樹的查找是如何實現的
/*
遞歸查找二叉排序樹T中是否存在key
指針f指向T的雙親，其初始調用值為NULL
若查找成功，則指針p指向該數據元素結點，並返回TRUE
否則指針p指向查找路徑上訪問的最后一個結點並返回FALSE
*/
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p)
{
//查找不成功
if(!T)
{
*p = f;
return FALSE;
}
//查找成功
else if(key == T->data)
{
*p = T;
return TRUE;
}
else if (key < T->data)
return SearchBST(T->lchild, key, T, p); //在左子樹繼續查找
else
return SearchBST(T->rchild, key, T, p)； //在右子樹繼續查找
}
/*8.6.2 二叉排序樹插入操作
有了二叉排序樹的查找函數，那么所謂的二叉排序樹的插入，其實也就是將關鍵字放到樹中合適位置而已。
當二叉排序樹T中不存在關鍵字等於key的數據元素時，插入key並返回TRUE,否則返回FALSE
*/
Status InsertBST(BiTree *T, int key)
{
BiTree p,s;
//查找不成功
if(!SearchBST(*T, key, NULL, &p))
{
s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
s->data = key;
s->lchild = s->rchild = NULL;
if(!p)
//插入s為新的根節點
*T = s;
else if(key < p->data)
//插入s為左孩子
p->lchild = s;
else
//插入孩子為右孩子
p->rchild = s;
return TRUE;
}
else
//樹中已有關鍵字相同的結點，不再插入
return FALSE;
}
/*
8.6.3 二叉樹刪除操作
俗話說“請神容易送神難”,我們已經介紹了二叉排序樹的查找與插入算法，但是對於二叉排序樹的刪除，就不那么容易，
我們不能因為刪除了結點，而讓這棵樹變得不滿足二叉樹排序的特性，所以刪除需要考慮多種情況。
*/
/*
根據我們對刪除結點三種情況的分析：
1.葉子結點；
2.僅有左或右子樹的結點；
3.左右子樹都有結點，我們來看代碼，下面這個算法是遞歸方式對二叉排序樹T查找key，查找到時刪除。
*/
/*
若二叉排序樹T中存在關鍵字等於key的數據元素時，則刪除該數據元素結點，並返回TRUE；否則返回FALSE
*/
Status DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
//不存在關鍵字等於key的數據元素
if(!*T)
return FALSE;
else
{
//找到關鍵字等於key的數據元素
if (key == (*T)->data)
return Delete(T);
else if (key < (*T)->data)
return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
else
return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
}
}
/*
上邊這段代碼和前面的二叉排序樹查找幾乎完全相同，唯一的區別就在於第8行，此時執行的時Delete方法，
對當前結點進行三處操作。我們來看Delete的代碼。
*/
//從二叉排序樹中刪除結點p，並重接它的左或右子樹。
Status Delete(BiTree *p)
{
BiTree q,s;
//右子樹空則只需重接它的左子樹
if ((*p)->rchild == NULL)
{
q = *p;
*p = (*p)->lchild;
free(q);
}
//左子樹為空則只需重接它的右子樹
if((*p)->lchild == NULL)
{
q = *p;
*p = (*p)->rchild;
free(q);
}
//左右子樹均不空
else
{
q = *p; s = (*p)->lchild;
//轉左，然后向右到盡頭（找待刪結點的前驅）
while (s->rchild)
{
q = s; s = s->rchild;
}
//s指向被刪除結點的直接前驅
(*p)->data = s->data;
if (q != *p)
//重接q的右子樹
q->rchild = s->lchild;
else
//重接q的左子樹
q->lchild = s->lchild;
free(s);
}
return TRUE;
}
/*
8.6.4 二叉排序樹總結
總之，二叉排序樹是以鏈接的方式存儲，保持了鏈接存儲結構在執行插入或刪除操作時不用移動元素的優點，
只要找到合適的插入和刪除位置后，僅需修改鏈接指針即可。插入刪除的時間性能比較好。而對於二叉排序樹
的查找，走的就是從根節點到要查找的結點的路徑，其比較次數等於給定值的結點在二叉排序樹的層數。極端
情況，最少為1次，即根節點就是要找的結點，最多也不會超過樹的深度。也就是說，二叉排序樹的查找性能
取決於二叉樹的形狀。可問題就在於，二叉排序樹的形狀是不確定的，有可能時極端的左傾或者右傾。
也就是說，我們希望二叉排序樹是平衡的，即其深度與完全二叉樹相同，均為，那么查找的時間復雜度
也就是O(logn)，近似於折半查找，事實上左圖也不夠平衡（p580 圖8-6-18），明顯的左重右輕。
不平衡的最壞情況就是像p580 圖8-6-18 右圖的斜樹，查找時間復雜度為O(n),這等同於順序查找。
因此，如果我們希望對一個集合按二叉排序樹查找，做好是把它們構建成一顆平衡的二叉排序樹。這樣我們就
引申出另一個問題，如何讓二叉排序樹平衡的問題。
*/
