前幾天 反相吧 吧主 incinc 在 反相吧 發了 一個 帖 《美國早期高考的一道數學題，你做得對嘛？》 https://tieba.baidu.com/p/6751019015 ，
里面 列了一道題，
這個題 可以 當作 另外一道 數學題 來做， 就是 求 圓周擺線， 所以， 我寫了一篇 文章 《圓周擺線》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13170411.html 。
這幾天， 網友 別問是劫是緣 發了 一個 帖 《就這么巧，剛刷到的》 https://tieba.baidu.com/p/6771961133 ， 又對 小圓轉了多少圈 的 問題 接着 討論 。
這個 帖 里， 網友 物空必能 在 9 樓 回復 了 一個 動圖 ：
這個 動圖 復制到這里 就 不動 了， 可以 到 帖 里 看， 哈哈 。
這個 動圖 很好， 可以看到， 滾動的齒輪 滾到 靜止齒輪 的 右邊（滾了 1/4 圓周） 時， 就 上下顛倒了， 也就是 上下翻轉了， 也就是 轉動了 180 ° ，
滾動 到 靜止齒輪 的 下方（滾了 1/2 圓周） 時， 又 上下翻轉 了 一次， 也就是 又 轉動了 180 ° ，
這樣， 滾動齒輪 從 靜止齒輪 的 上方 到 下方 一共 就 轉動了 180 ° + 180 ° = 360 ° ， 也就是 轉動了 一周 。
可以在 滾動齒輪 里 取 一條 直徑， 命名 為 D， 從 上方 到 右邊， D 翻轉了 180 °， 首尾顛倒， 從 右邊 到 下方， 又 翻轉了 180 °， D 又 轉回了 原來（上方） 的 方向 。 D 轉回了 原來 （上方） 的 方向 表示 小圓 轉了一周 。
可以這樣給 “小圓轉動一圈” 定義， 在 小圓 上 任取 一條直徑， 記為 D， D 轉回 原來 的 方向 就是 小圓 轉動一圈 。
這個 定義 稱為 反轉標准 。
根據 反轉標准， 我們可以 得出 一個 小圓轉了多少圈 的 公式 ：
設 圓 O 半徑 為 r， 圓 O ′ 半徑 為 r ′ ， r = n r ′， n > 0 ， n 可以 大於 1， 也可以 小於 1， 也就是說， r 可以 大於 r ′， 也可以 小於 r ′ 。
圓 O ′ 沿着 圓 O 滾動， 滾動 經過的 長度 為 L， 則
圓 O ′ 轉動 的 圈數 = L / ( 2 π r ′ ) * ( n + 1 ) / n (1) 式
這個公式 是 怎么來的， 大家自己思考吧， 哈哈 。
我們 把 美國 考題 的 條件 代入 (1) 式， 美國 考題 里， 大圓 半徑 是 小圓 半徑 的 3 倍， 即 r = 3 r ′ ，
代入 (1) 式 ：
L = 2 π r = 2 π * 3 r ′
圈數 = 2 π * 3 r ′ / ( 2 π r ′ ) * ( 3 + 1 ) / 3 = 3 * 4 / 3 = 4 圈
也就是說， 按照 反轉標准， 小圓 轉了 4 圈 。
incinc 吧主 用 圓心 的 移動距離 除以 小圓周長 算出 4 圈， 是一種 巧合 。 可以 推導 出， 用 incinc 吧主 的 小圓圓心 移動距離 除以 小圓周長 來 計算 圈數 的 方法 推導出 的 公式 和 (1) 式 一樣 。
但這是一種 巧合， 如果 將 大圓 換為 任意曲線， 即 讓 小圓 沿着 任意曲線 滾動， 則 小圓 轉動 的 圈數 不能 以 小圓圓心 移動距離 除以 小圓周長 來 計算 。
還有 一種 小圓 轉了 一圈 的 定義， 以 小圓 上 和 大圓 接觸 的 一點 再次 和 大圓 接觸 為 一圈， 這個定義 稱為 嚙合定義 。
按照 嚙合定義 來算， 小圓 轉 的 圈數 = 滾動經過的長度 / 小圓周長 = 大圓周長 / 小圓周長 = 2 π r / ( 2 π r ′ ) = r / r ′ = 3 r ′ / r ′ = 3 圈
反轉標准 也好， 嚙合標准 也好， 這些 是 判斷 小圓 轉動一圈 的 規則， 嚴格的說， 這些 不是 參照系 問題 。
大圓 和 “絕對參照系” 一起 靜止， 所以， 以 大圓 上 的 任何一部分 作為 參照系， 觀察結果 和 絕對參照系 是 一樣 的 。
大圓 和 絕對參照系 觀察到 的 小圓 的 “機械運動” 是 一樣 的 。
既然， 機械運動 一樣， 那么， 這樣的 機械運動 算是 轉了幾圈， 這就是 轉圈 的 定義， 也就是 “怎樣 算是 轉了一圈” 。
而 上面 我們 給出了 兩種 轉圈 定義， 反轉標准 和 嚙合標准 。
應該指出， 皮帶傳動 和 齒輪嚙合 的 場景， 兩個 輪子（齒輪） 的 圓心 是 固定 的， 不會移動的， 此時， 反轉標准 和 嚙合標准 等價 。
按 嚙合標准 來算， 這道 美國考題 是 一道 小題， 按 反轉標准 來看， 這道題 是 需要一定 技巧 和 思考 的 思考題， 也可以說是 中型題 。
如果 按 反轉標准， 但 把 大圓 換成 任意曲線， 也就是說 讓 小圓 沿着 某種曲線 滾動， 問 小圓 從 曲線 上 的 一點 滾到 另一點 轉了幾圈 ？ 這是 一道 初等 數學分析 題， 涉及到 導數 、求 曲線長度 、求 極值點 分布 。
當然， 這個 曲線 是 能讓 小圓 總是 “貼着” 滾動 的 曲線 。
比如， 讓 小圓 在 正弦曲線 上 滾動 試試 。 或者， 在 二次函數 曲線 上 滾動 也可以 。
本文內容 已 回復到 《就這么巧，剛刷到的》 https://tieba.baidu.com/p/6771961133 的 10 樓 。
本文 已 發到了 反相吧 《“小圓轉了多少圈” 又 引出 一個 數學題》 https://tieba.baidu.com/p/6783430605 ， 下面是 帖 里的 一些 回復 ：
8 樓
K歌之王 ：
有趣的是， 在 地球 的 自轉問題 上， 人們 似乎 從來 不覺得 反轉標准 和 嚙合標准 有 絲毫 矛盾 。
地球軌道 很大， 和 軌道 比起來， 地球 就像一個 小丸子 。 在 大圓 遠大於 小圓 的 情況下， 反轉標准 和 嚙合標准 很接近， 相差不大 。
軌道 相當於 大圓， 地球 相當於 小圓 。
而 ， 當 軌道半徑 無窮大 時， 軌道 變成 直線， 在 直線 上， 反轉標准 和 嚙合標准 等價 。
要 按 反轉標准 來 觀察， 需要 選擇 一個 “固定” 的 參照物， 遺憾的是， 在 地球 的 附近， 比較靠譜 的 “固定” 的 參照物 只有 太陽，
而 太陽 又 剛好 位於 軌道 的 “圓心”， 所以， 太陽 扮演 了 圓心 的 角色， 剛好也只好 作為 嚙合標准 的 參照物， 而 不能 作為 反轉標准 的 參照物 。
恆星， 離 地球 很遠， 可以 算是 “固定” 的， 因為很遠， 所以， 地球 上 微小 的 角度偏差， 觀察到 的 恆星 位置 會有 顯著 的 不同 。 可以用來 測量 地球 的 反轉標准 自轉， 也可以說 測量 反轉標准 和 嚙合標准 的 相差角度 。
可以用 一些 方向性 精密 的 天文望遠鏡 設備 來 測量 恆星 相對於 某個 基准 的 角度， 這個 基准 通常 是 某點 的 一根 垂直於 地平面 的 直桿 。
這樣， 只要 選定 一顆 恆星， 測量出 昨天 和 今天 該恆星 的 角度 差， 就可以知道 反轉標准 和 嚙合標准 的 相差角度 。
怎么測量 恆星 的 角度差 呢 ？ 以 某點 的 一根 垂直於 地平面 的 直桿 為 基准， 昨天， 望遠鏡 在 相對於 桿 的 角度 為 θ1 看到了 這顆恆星， 今天， 在 相對於 桿 的 角度 為 θ2 看到了 這顆恆星， θ2 - θ1 就是 恆星 的 角度差 。 實際上 也就是 反轉標准 和 嚙合標准 的 相差角度 。
也可以 根據 恆星 昨天 和 今天 在 地平線 出現 的 時間差 來 計算 反轉標准 和 嚙合標准 的 相差角度 。
9 樓
接 8 樓，
8 樓 說的 還沒有 具體 的 考慮 公轉， 地球 自轉 + 公轉， 效果 就像是 沿着 軌道 一邊 滾動， 一邊 滑動， 這個 滑動 可能是 “向前滑動”， 也可能是 “向后打滑” ， 也有可能 和 無滑動滾動 差不多 。 這要看 具體 的 公轉 和 自轉 速度 。
上文 小圓 在 大圓 上 滾動 是 無滑動滾動 。