形式語言與編譯九 CFG到CNF再到GNF 左遞歸消除

本文轉載自查看原文 2020-06-27 17:14 1087 編譯原理與形式語言

先找出$N_A簇，N_B簇，N_C簇$，先對$N_A簇$：是單產生式的將來會因為替換而消除；不是單產生式的直接放進新的集合

同理對$N_B簇,N_C簇$也是一樣(這樣一般得到三個"堆")

確實沒了單產生式。

CFG的化簡

建議做的過程：

消除$\epsilon$ 產生式
消除單產生式
消除無用符號

按這個順序做

這樣化簡后的CFG G1 與原來的CFG G相比，有$L(G_1)=L(G)-\{\epsilon\}$

對上面簡化后的CFG進行標准化——Chomsky范式

本來我們的CFG文法它的形式是 $A->\alpha,其中\alpha\in(V_N \cup V_T)^*$ 也就是這個串有終結符和非終結符組成的串即可，要求並不嚴

現在我們進行喬姆斯基范式的正規化。目的就是讓我們上面的定義受到一些約束，形成這種$A->BC,A->a ,a\in V_T$ 類型（$A->變元變元，A->終結符$）的。

(這里與我們的正則文法，可以類比，正則文法的形式是：$A->\alpha , A->\alpha B,\alpha\in (V_T)^*$，也就是終結符組成的字符串或者終結符組成的字符串+變量)

注意：若語言$\epsilon \in L(G)$ 就會有$S->\epsilon$這樣一條產生式加入產生式集合這里很好理解,但是要求$S$只能當做開始符號，不能在到別的產生式的產生式體中，要是迫不得已，則就是我們引進$S_1->S與S_1->\epsilon $

對每一個CFG 都有喬姆斯基范式CNF,也就是都可以化成$A->BC,A->a ,a\in V_T$ 這種形式

從上下文無關文發(CFG)到CNF(喬姆斯基范式)的算法

說明：

掃描原來產生式，如果是終結符，就把這個終結符拎出來，形成產生式【新變量->終結符】的形式，再把原來產生式中的終結符替換成新變量

如果是非終結符(變量)，把這個長的變量組成的串想辦法縮短成多個小短串(小短串的產生式體只包含不超過2個變量)

Greibach范式(GNF)

為什么要提出Greibach范式？？？

因為自上而下的推導中會產生回溯，回溯導致分析效率降低

產生回溯的原因：

存在$A->Ab$ 左遞歸的非終結符
同一個非終結符的候選式們有公共左因子 (產生體左邊有一部分一樣的)

如何避免回溯？？消除左遞歸！

Greibach范式的定義：

把所有產生式定義成：$A->a\beta,A\in V_N ,a\in V_T,\beta\in (V_N)^*$ 且G不含$\epsilon$ 產生式模式：變量——>常量+純變量串 和CNF范式一樣的是：每一個CFG也都有對應的GNF

這里的多步推導隱含意思（直接+間接）就是文法中幾乎可以說不能含有$A=>^*A\beta,A=>^*\alpha A \beta, …$ 這種文法。一旦含有則直接被判定為遞歸文法

步驟：

生成式的替換(替換的目的是為后面找到間接左遞歸做准備)

(截止這里，還沒有正真的進行消除左遞歸，只是將所有可能隱含的左遞歸，通過替換算法給"發掘"出來)

消除直接左遞歸

先把不是左遞歸的部分copy過來；再給這些剛搞過來的產生式后面引入我們的新變量$A'$ ；再以新的$A'$引出產生式，這些產生式的產生式體部分要么是原來遞歸產生式體的非遞歸部分，要么是原來遞歸產生式體的非遞歸部分 +$A'$ 進行右遞歸！

先把剎車部分和新引入的寫出來；再由新引入的寫出原來遞歸中的重復部分，以及遞歸重復部分連接新引入的

消除左遞歸的宏觀思路：

消除左遞歸之前，上圖中的$\beta$是一直到最后，才因替換而出現；消除左遞歸之后，上圖中的$\beta$ 一開始很早就出現。

消除間接左遞歸

替換的過程就是類似於解方程組代入法。通常第一條作為核心方程式，第二條用第一條表示；第三條用第二條和第一條表示。

上面最后一部分是不完整的，因為只用了$A_1$代入，沒把$A_2$代入

我們代入的目的是形成直接左遞歸(暴露出原來隱含的左遞歸，而且是把已經知道的產生式代入(換句話說，序號小的產生式代入序號大的產生式)，比如

上面的我們先看到$A_1$ ，單個$A_1$形不成左遞歸；

再看$A_2$ ,我們的目的就是把$A_1$ 代入到$A_2$ 並且還要形成直接左遞歸的才帶入，於是有$A_2->A_3A_1|A_2A_3b|ab$ 注意到此時有了直接左遞歸；我們用消除左遞歸的方式產生右遞歸：有 $A_2->A_3A_1|ab|A_3A_1A_2'|abA_2',,, ,,A_2'->A_3b|A_3bA_2'$
$A_3$發現我們可能要代入兩次(由上面已知的$A_1,A_2,A_2'$) 先將$A_1$代入$A_3$ $A_3->A_2A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a$ 再把$A_2$代入$A_3$ 得到直接左遞歸形式：$A_3->A_3A_1A_3A_2|A_3A_1A_2'A_3A_2|abA_3A_2|abA_2'A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a$ 然后把這個暴露出直接左遞歸形式的產生式進行消除左遞歸。得到 $A_3->abA_3A_2|abA_2'A_3A_2|aA_2|A_3A_3|abA_3A_2A_3'|abA_2'A_3A_2A_3'|aA_2A_3'|A_3A_3A_3',A_3'->A_1A_3A_2|A_1A_2'A_3A_2|A_1A_3A_2A_3'|A_1A_2'A_3A_2A_3'$

正確的應該是：

$A_3->A_2A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a=$ 再把遞歸部分產生式可以替換的(本例是$A_2$) 用產生式再次替換,得：

$A_3->A_3A_1A_3A_2|abA_3A_2|A_3A_1A_2'A_3A_2|abA_2'A_3A_2|aA_2|A_3A_3|a$

經過這樣，就把所有的隱含左遞歸產生式就給顯現出來了！

然后按照正常的把直接左遞歸變右遞歸就行了。

CFG的化簡注意事項：

消除$\epsilon$ 產生式消除單產生式消除無用符號

首先判斷原始CFG產生的語言中，有沒有$\epsilon$ 因為我們有一條【消除$\epsilon$ 產生式】

也就是說我們化簡完了的CFG G，如果原來的產生式有$\epsilon$ ,那么那化簡完由於沒有 $\epsilon$ 產生式，所以得∪上$\epsilon$ 句子（引入新的開始符號$S'$）；如果原來語言中就不含$\epsilon $ ,那按步驟化簡完即可。

判斷變量是否是可致空的，所謂消除$\epsilon$ 產生式，就是把 $\epsilon$ 產生式代入這些變量，每一個變量都有兩種可能：是$\epsilon$ ,不是$\epsilon$ 。比如$A->aBc，B->\epsilon $ ,我們判斷B是可以為$\epsilon$ 的,那么這兩條產生式就可以變為$A->ac|aBc$ 。

$A->aBC,B->\epsilon,C->\epsilon$ 就可以變為$A->aBC|aB|aC|a$ 這就是***消除$\epsilon$ 產生式 *** [消$\epsilon$ 產生式]
先識別哪些不是單位產生式，找到它！所謂消除單位產生式就是$A->B,B->\alpha串$ ,直接替代入B，B實際上沒用，得到$A->\alpha串$

$B->A,A->\alpha_1|\alpha_2|\alpha_3$ 變為 $B->\alpha_1|\alpha_2|\alpha_3$ [消單產生式]
先判定變量是不是可生成的(每一個變量能夠推推推到終結符)；再判定變量是可到達的(S變量能夠推推推到目前變量) [消無用符號]
化成喬姆斯基形式我們的目的是把所有的產生式化成 $A->BC,A->a$ 所以第一步，面對產生式體長度大於等於2的，能化成的，盡可能化成這種形式。比如：$A->aAS,B->BbB$ 面對這種可以化成的，我們引進$C->a,D->b$ 這樣就可以化成$A->CAS,B->BDB$ (把常量、變量混雜的換成全部變量形式) 這樣換了以后，要么右部全部是變量，要么右部只有一個常量

現在把變量長度大於等於3的變量串拆成變量長度是2的。比如：$S->ASB$ 就可以拆成$S->AE,E->SB$ ;$B->SDS$拆成$B->SG,G->DS$ 完成！ [化成喬姆斯基范式]