算法的時間復雜度和空間復雜度
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算法的時間復雜度
時間頻度
一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。
時間復雜度
一般情況下，算法中的基本操作語句的重復執行次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n) / f(n) 的極限值為不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作 T(n)=Ｏ( f(n) )，稱Ｏ( f(n) ) 為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。
計算時間復雜度的方法
- 用常數1代替運行時間中的所有加法常數
- 修改后的運行次數函數中，只保留最高階項
- 去除最高階項的系數
常見的時間復雜度
常數階O(1)
無論代碼執行了多少行，只要是沒有循環等復雜結構，那這個代碼的時間復雜度就都是O(1)
int i = 1;
int j = 2;
i++;
j++;
上述代碼在執行的時候，它消耗的時候並不隨着某個變量的增長而增長，那么無論這類代碼有多長，即使有幾萬幾十萬行，都可以用O(1)來表示它的時間復雜度。
對數階O(log2n)
int i = 1;
while(i<n){
i = i * 2;
}
在while循環里面，每次都將 i 乘以 2，乘完之后，i 距離 n 就越來越近了。假設循環x次之后，i 就大於 2 了，此時這個循環就退出了，也就是說 2 的 x 次方等於 n，那么 x = log2n也就是說當循環 log2n 次以后，這個代碼就結束了。因此這個代碼的時間復雜度為：O(log2n) 。 O(log2n) 的這個2 時間上是根據代碼變化的，i = i * 3 ，則是 O(log3n)
線性階O(n)
for(i = 1; i <= n; i++){
j = i;
}
這段代碼，for循環里面的代碼會執行n遍，因此它消耗的時間是隨着n的變化而變化的，因此這類代碼都可以用O(n)來表示它的時間復雜度
線性對數階O(nlog2n)
for(m =1;m<n;m++){
i = 1;
while(i<n){
i = i * 2;
}
}
線性對數階O(nlogN) 其實非常容易理解，將時間復雜度為O(logn)的代碼循環N遍的話，那么它的時間復雜度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)
平方階O(n^2)
for(j=1;j<n;j++){
for(i=1;i<n;i++){
m = j+i;
}
}
平方階O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代碼再嵌套循環一遍，它的時間復雜度就是 O(n²)，這段代碼其實就是嵌套了2層n循環，它的時間復雜度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果將其中一層循環的n改成m，那它的時間復雜度就變成了 O(mn)
立方階O(n^3)
三層循環
k次方階O(n^k)
k層循環
指數階O(2^n)
常見的算法時間復雜度大小
由小到大依次為：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，隨着問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低
從圖中可見，
建議
盡可能避免使用指數階的算法
平均時間復雜度和最壞時間復雜度
- 平均時間復雜度是指所有可能的輸入實例均以等概率出現的情況下，該算法的運行時間。
- 最壞情況下的時間復雜度稱最壞時間復雜度。一般討論的時間復雜度均是最壞情況下的時間復雜度。 這樣做的原因是：最壞情況下的時間復雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的界限，這就保證了算法的運行時間不會比最壞情況更長。
- 平均時間復雜度和最壞時間復雜度是否一致，和算法有關
算法的空間復雜度
- 類似於時間復雜度的討論，一個算法的空間復雜度(Space Complexity)定義為該算法所耗費的存儲空間，它也是問題規模n的函數。
- 空間復雜度(Space Complexity)是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度。有的算法需要占用的臨時工作單元數與解決問題的規模n有關，它隨着n的增大而增大，當n較大時，將占用較多的存儲單元，例如快速排序和歸並排序算法就屬於這種情況
- 在做算法分析時，主要討論的是時間復雜度。從用戶使用體驗上看，更看重的程序執行的速度。一些緩存產品(redis, memcache)和算法(基數排序)本質就是用空間換時間.
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