DFA（Detrend Fluctuation Analysis）與scale-free
scale-free的本質特征是self-affine or self-similar。具體的，體現在幾何上，那么圖形中總能找到一個小的部分，它的形態與總的圖形一致或相似，體現在統計上，則某一小段序列的標准差不依賴於尺度的選擇，它能夠通過rescale得到和總體標准差一樣的值，或者說其標准差和尺度的關系滿足冪律指數關系，這意味着在雙對數坐標系下，二者的圖線是一條直線。
scale-free的一種通用數學定義是
L是長度系數，H被稱為Hurst參數，它反映了scale-free對象的性質。
DFA的計算方法
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將信號關於平均值作歸一化后，求出profile，或稱累積和。
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窗長是DFA圖像的自變量，選取冪律步長增長的窗長序列。最長的窗長為整個待分析序列的長度（但介於序列長度與長度一半的窗長會由於計算時丟棄太多數據而引入誤差，應該盡量避免，這一點可以從DFA圖中看出），最短的窗長，對於HRV來說，以一個呼吸周期為佳，大概為4-8s，（“以一個呼吸周期為佳”為個人未經實驗證明的觀點）。按照某一個窗長，將信號分割為non-overlapping的許多片段。
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對每個計算窗內，作基於線性擬合的detrend。
除了線性擬合，還可以作二次、三次擬合，稱為DFA2，DFA3。比如Penzel等人[1]在2003年使用DFA2來分析睡眠ECG。他們的一個實驗現象是REM和wake時，\(\alpha\)更大。
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對每個detrend后的序列求均方根值（RMS），得到F(n)。
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對log[F(n)]和log(n)作線性擬合，擬合所得斜率為整個信號波動水平的衡量。比如清醒時的斜率就會大於睡眠時的斜率。當斜率為0時，信號退化為平穩信號。
思考：log[F(n)]和log(n)線性擬合的斜率總是大於等於0，從實驗的角度證明了這樣一個命題：對一個總體來說，其抽樣的標准差的期望小於等於總體的標准差，當且僅當每個抽樣的平均值與總體相等時，取等號。
WDFA
WDFA（Window DFA）的提出是為了克服DFA無時間信息的問題。Adnane等人於2012年[2]指出這一問題給DFA在應用上帶來兩個短板，一是無法對短於DFA點數要求的信號段進行分析，二是當一個信號段里既有清醒和睡眠時，必然會導致一部分的階段被錯判，因而進一步提出WDFA，並在文章中給出了WDFA的計算方法：
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WDFA的前三步驟與DFA相同，稍有不同的是選擇的窗寬只有n=30和n=90(序列已經降采樣到1Hz)。
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WDFA的實質為一個移動窗內信號的能量（不包含直流分量）。
\[\mu(t, \delta)=\frac{1}{2 \delta} \int_{t-\delta}^{t+\delta}(z(\tau)-\bar{z}(t))^{2} d \tau \]應用中的表達式為：
\[\mu(t, \delta)=\frac{1}{2 \delta}\left(\mu_{2}(t+\delta)-\mu_{2}(t-\delta)\right)-\frac{1}{(2 \delta)^{2}}\left(\mu_{1}(t+\delta)-\mu_{1}(t-\delta)\right)^{2} \]式中t表示時刻，\(\delta\)表示窗寬，z(t)為步驟1得到的detrend信號，\(\mu_1\)和\(\mu_2\)的定義如下：
\[\mu_{1}(t)=\int_{-\infty}^{t} z(\tau) d \tau \]\[\mu_{2}(t)=\int_{-\infty}^{t} z(\tau)^{2} d \tau \]文章中，\(\delta\)有兩個取值，分別為30和90。
ECG與DFA
對於被公認為是非穩態信號ECG來講，DFA盡可能小的受到噪聲和非穩態信號的干擾實現相關的計算。
Penzel T , Kantelhardt J W , Grote L , et al. Comparison of detrended fluctuation analysis and spectral analysis for heart rate variability in sleep and sleep apnea[J]. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2003, 50(10):1143-1151. ↩︎
Adnane, Mourad, Zhongwei Jiang, and Zhonghong Yan. "Sleep–wake stages classification and sleep efficiency estimation using single-lead electrocardiogram." Expert Systems with Applications 39.1 (2012): 1401-1413. ↩︎