辨析：IIR(Infinite Impulse Response)與FIR(Finite Impulse Response)

• IIR和FIR系統描述的是系統的抽樣響應特性,其中$ x(n)=\delta(n) $

  1. 舉例：一個平均器的系統是FIR系統，因為它的抽樣響應僅在變量n取某3個值的時候有值，是有限長的；一階自回歸模型由於包含了從輸出到輸入的反饋，所以其抽樣相響應是無限長的。

• 令$ x(n)=e^{jwn}$, 得到的系統輸出就是頻率響應，其數學表示如下：

  \[\begin{align} y(n) &= \sum_{k=- \infty}^{\infty} h(k)x(n-k)=\sum_{k=- \infty}^{\infty} h(k)e^{j(n-k)w}\\ &=e^{jwn}\sum_{k=- \infty}^{\infty}h(k)e^{-jwk}\\ &=e^{jwn}H(e^{jw}) \end{align} \]

  我們稱\(e^{jwn}\)為系統的特征函數，\(H(e^{jw})\)為系統的特征值。（線性代數無處不在）

• 一個LST系統至少有四種描述方式：

  1. 頻率響應
     \[H(e^{jw})=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-jwn}\\ \]

2. 轉移函數

   \[\begin{align} H(z)&=\sum_{n=0}^{\infty}h(n)z^{-n}\\ or \quad H(e^{jw})&= \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\sum_{r=0}^{M}b(r)z^{-r}}{1+\sum_{k=1}^{N}a(k)z^{-k}} \end{align} \]

   轉移函數和差分方程可以互相推導，他們分別是系統物理性質的時域表達和頻域表達。

3. 差分方程

   \[y(n) = -\sum_{k=1}^{\infty}a(k)y(n-k)+\sum_{r=0}^{M}b(r)x(n-r) \]

4. 卷積關系

\[y(n) = \sum_{k= -\infty} ^{\infty}x(k)h(n-k)=x(n)*h(n) \]

• 數字濾波器的實現原理

  1. IIR的傳遞函數
  \[H(z)=\frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}}{1-\sum_{k=1}^{N} a_{k} z^{-k}}=\frac{Y(z)}{X(z)} \]

  對應的差分方程為

\[y(n)=\sum_{k=1}^{N} a_{k} y(n-k)+\sum_{k=0}^{M} b_{k} x(n-k) \]

​ 2. FIR的傳遞函數

\[H(z)=\sum_{n=0}^{N-1} h(n) z^{-n} \]

​ 對應的差分方程為

\[y(n)=\sum_{m=0}^{N-1} h(m) x(n-m) \]

FIR濾波器的設計

• 線性相位

  當一個系統的相頻特性滿足如下的線性相位

  \[arg[H(e^{jw})]=-kw \]

  時，輸出滿足

  \[y(n) = x(n-k) \]

  是無失真的。

  我的理解——如要時域上偏移的點數相同，則頻率越高，對應的相位越長。

  _{結論：相位延遲反映了載波信號的延遲，群延遲反映了信號包絡的延遲。似乎不重要。}

• FIR濾波器在實際中更常用，原因是FIR濾波器的單位響應是有限長的，更容易實現某種對稱性，從而實現線性相位。若FIR濾波器是線性相位的，那么它應該滿足：

\[h(n)=\pm h(N-1-n) \]

​

• 在這里，\(h(n)\)有偶對稱和奇對稱兩種可能，\(N\)也有可能為奇數或者偶數。這2組可能的組合\(C_2^2\)構成四種情況，在一些文獻里分別被稱作類型I，類型II，類型III和類型IV。

• 在設計一般用途的濾波器時，\(h(n)\)多取偶對稱，長度n也往往取為奇數。

IIR與FIR的應用：

引用陳懷琛的“數字信號處理教程－－MATLAB釋義與實現”

從性能上來說，IIR濾波器傳遞函數包括零點和極點兩組可調因素，對極點的惟一限制是在單位圓內。因此可用較低的階數獲得高的選擇性，所用的存儲單元少，計算量小，效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越嚴重。FIR濾波器傳遞函數的極點固定在原點，是不能動的，它只能靠改變零點位置來改變它的性能。所以要達到高的選擇性，必須用較高的階數；對於同樣的濾波器設計指標，FIR濾波器所要求的階數可能比IIR濾波器高5-10倍，結果，成本較高，信號延時也較大；如果按線性相位要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網絡進行相位校正，同樣要大大增加濾波器的階數和復雜性。而FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位。

從結構上看，IIR濾波器必須采用遞歸結構來配置極點，並保證極點位置在單位圓內。由於有限字長效應，運算過程中將對系數進行舍入處理，引起極點的偏移。這種情況有時會造成穩定性問題，甚至產生寄生振盪。相反，FIR濾波器只要采用非遞歸結構，不論在理論上還是在實際的有限精度運算中都不存在穩定性問題，因此造成的頻率特性誤差也較小。此外FIR濾波器可以采用快速傅里葉變換算法，在相同階數的條件下，運算速度可以快得多。

另外，也應看到，IIR濾波器雖然設計簡單，但主要是用於設計具有分段常數特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而FIR濾波器則要靈活得多，尤其是他易於適應某些特殊應用，如構成數字微分器或希爾波特變換器等，因而有更大的適應性和廣闊的應用領域。

從上面的簡單比較可以看到IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應用時應該從多方面考慮來加以選擇。從使用要求上來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等，選用IIR較為合適，這樣可以充分發揮其經濟高效的特點；對於圖像信號處理，數據傳輸等以波形攜帶信息的系統，則對線性相位要求較高。如果有條件，采用FIR濾波器較好。當然，在實際應用中可能還要考慮更多方面的因素。

不論IIR和FIR，階數越高，信號延遲越大；同時在IIR濾波器中，階數越高，系數的精度要求越高，否則很容易造成有限字長的誤差使極點移到單位園外。因此在階數選擇上是綜合考慮的。