SciPy提供了fftpack模塊，包含了傅里葉變換的算法實現。
傅里葉變換把信號從時域變換到頻域，以便對信號進行處理。傅里葉變換在信號與噪聲處理、圖像處理、音頻信號處理等領域得到了廣泛應用。
如需進一步了解傅里葉變換原理，可以參考相關資料。
快速傅里葉變換
計算機只能處理離散信號，使用離散傅里葉變換(DFT) 是計算機分析信號的基本方法。但是離散傅里葉變換的缺點是：計算量大，時間復雜度太高，當采樣點數太高的時候，計算緩慢，由此出現了DFT的快速實現，即快速傅里葉變換FFT。
快速傅里葉變換（FFT）是計算量更小的離散傅里葉變換的一種實現方法，其逆變換被稱為快速傅里葉逆變換（IFFT）。
示例
先對數據進行fft變換，然后再ifft逆變換。
import numpy as np #從fftpack中導入fft(快速傅里葉變化)和ifft(快速傅里葉逆變換)函數 from scipy.fftpack import fft,ifft #創建一個隨機值數組 x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5]) #對數組數據進行傅里葉變換 y = fft(x) print('fft: ') print(y) print('\n') #快速傅里葉逆變換 yinv = ifft(y) print('ifft: ') print(yinv) print('\n')
輸出
fft: [ 4.5 +0.j 2.08155948-1.65109876j -1.83155948+1.60822041j -1.83155948-1.60822041j 2.08155948+1.65109876j] ifft: [ 1. +0.j 2. +0.j 1. +0.j -1. +0.j 1.5+0.j]
可以看到fft，ifft返回的都是復數。ifft返回的結果中，復數的虛部都是0，實部與原始數據x一致。
這些點的頻率無法計算，因為沒有設置這N個點的時間長度。如不理解，不必深究，后面會介紹。
理解fft變換結果
我們知道，傅里葉變換把時域信號變為頻域信號。在離散傅里葉變換中，頻域信號由一系列不同頻率的諧波（頻率成倍數）組成。fft返回值是一個復數數組，每個復數表示一個正弦波。通常一個波形由振幅，相位，頻率三個變量確定，可以從fft的返回值里，獲取這些信息。
假設a是時域中的周期信號，采樣頻率為Fs，采樣點數為N。如果A[N] = fft(a[N])，返回值A[N]是一個復數數組，其中：
- A[0]表示頻率為0hz的信號，即直流分量。
- A[1:N/2]包含正頻率項，A[N/2:]包含負頻率項。正頻率項就是轉化后的頻域信號，通常我們只需要正頻率項，即前面的n/2項，負頻率項是計算的中間結果（正頻率項的鏡像值）。
- 每一項的頻率計算：假設A[i]為數組中的元素，表示一個波形，該波形的頻率 = i * Fs / N
- A[i] = real + j * imag，是一個復數，相位就是復數的輻角，相位 = arg(real/imag)
- 類似的，振幅就是復數的模，振幅 = sqrt(real^2+imag^2)。但是fft的返回值的模是放大值，直流分量的振幅放大了N倍，弦波分量的振幅放大了N/2倍。
頻率分辨率
頻率分辨率是離散傅里葉變換(DFT)頻域相鄰刻度之間的實際頻率之差。采樣時，數據采樣了T秒(T = 采樣點數N / 采樣頻率Fs)，信號的成分中周期最大也就是T秒，最低頻率即“基頻”就等於1 / T，也就是Fs / N，這就是頻率分辨率。基頻 =Fs / N，各個諧波的頻率就是i * Fs / N，這個公式用於計算各個波形的頻率。
示例
import numpy as np from scipy.fftpack import fft # 采樣點數 N = 4000 # 采樣頻率 (根據采樣定理，采樣頻率必須大於信號最高頻率的2倍，信號才不會失真) Fs = 8000 x = np.linspace(0.0, N/Fs, N) # 時域信號，包含：直流分量振幅1.0，正弦波分量頻率100hz/振幅2.0, 正弦波分量頻率150Hz/振幅0.5/相位np.pi y = 1.0 + 2.0 * np.sin(100.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(150.0 * 2.0*np.pi*x + np.pi) # 進行fft變換 yf = fft(y) # 獲取振幅，取復數的絕對值，即復數的模 abs_yf = np.abs(yf) # 獲取相位，取復數的角度 angle_y=np.angle(yf) # 直流信號 print('\n直流信號') print('振幅:', abs_yf[0]/N) # 直流分量的振幅放大了N倍 # 100hz信號 index_100hz = 100 * N // Fs # 波形的頻率 = i * Fs / N，倒推計算索引：i = 波形頻率 * N / Fs print('\n100hz波形') print('振幅:', abs_yf[index_100hz] * 2.0/N) # 弦波分量的振幅放大了N/2倍 print('相位:', angle_y[index_100hz]) # 150hz信號 index_150hz = 150 * N // Fs # 波形的頻率 = i * Fs / N，倒推計算索引：i = 波形頻率 * N / Fs print('\n150hz波形') print('振幅:', abs_yf[index_150hz] * 2.0/N) # 弦波分量的振幅放大了N/2倍 print('相位:', angle_y[index_150hz]) print('100hz與150hz相位差:', angle_y[index_150hz] - angle_y[index_100hz]) print('\n')
輸出
直流信號 振幅: 1.0 100hz波形 振幅: 1.9989359813189005 相位: -1.5315264186250062 150hz波形 振幅: 0.5008489983048182 相位: 1.6297011890497097 100hz與150hz相位差: 3.161227607674716
可以看到，正弦波的相位不一定從0開始，但波形之間的相位差確實s約等於一個pi(值跟采樣頻率與采樣點數有關系)。
離散余弦變換(DCT)
由於許多要處理的信號都是實信號，在使用FFT時，對於實信號，傅立葉變換的共軛對稱性導致在頻域中有一半的數據冗余。
離散余弦變換（DCT）是對實信號定義的一種變換，變換后在頻域中得到的也是一個實信號，相比離散傅里葉變換DFT而言, DCT可以減少一半以上的計算。DCT還有一個很重要的性質（能量集中特性）：大多書自然信號（聲音、圖像）的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分，因而DCT在（聲音、圖像）數據壓縮中得到了廣泛的使用。由於DCT是從DFT推導出來的另一種變換，因此許多DFT的屬性在DCT中仍然是保留下來的。
SciPy.fftpack中，提供了離散余弦變換(DCT)與離散余弦逆變換(IDCT)的實現。
示例
import numpy as np from scipy.fftpack import dct,idct y = dct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])) print(y)
輸出
[ 60. -3.48476592 -13.85640646 11.3137085 6.
-6.31319305]
離散余弦逆變換(idct)，是離散余弦變換(DCT)的反變換。
示例
import numpy as np from scipy.fftpack import dct,idct y = idct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.])) print(y)
輸出
[ 39.15085889 -20.14213562 -6.45392043 7.13341236 8.14213562 -3.83035081]