這幾天 反相吧 吧主 incinc 在 反相吧 發了 一個 帖 《美國早期高考的一道數學題，你做得對嘛？》 https://tieba.baidu.com/p/6751019015 ，
這 帖 出奇 的 火 了， 還 誕生了 幾個 討論 這個 問題 的 新 的 帖子， 啊這 。
這個 帖 里 的 題目 是 ：
其實 可以 把 這個 題目 當成 另一個 數學題 來 做， 設 小圓 初始時 和 大圓 接觸 的 點 為 A， 求 A 點 的 軌跡 。
紅色 的 點 就是 A 點， A 點 是 小圓 的 點， 初始時 和 大圓 接觸 。 原題 的 圖 里 A 、B 是 圓心， 我下面 會 重新 畫圖 把 圓心 改成 O 和 O ′ 。
如圖， 大圓 圓心 為 O， 小圓 圓心 為 O ′ ， A 點 在 小圓 上， B 點 在 大圓 上， 初始時， A 、B 兩點接觸 。 求 A 點 軌跡 。
以 大圓 圓心 O 為 原點 建立 極坐標系， 極角 θ = ∠ AOB ， 極徑 ρ = OA 。
小圓 的 滾動過程 可以分為 前半周 和 后半周， OO ′A 三點 在 一條直線 之前 為 前半周， 之后 是 后半周 。
我們 研究 前半周， 前半周 可以 分為 2 段， OA 與 小圓 相切 之前 是 第一段， 之后 是 第二段 。
圖 (1) 是 第一段， 圖 (2) 是 第二段， OA 與 小圓 相切 是 第一段 和 第二段 的 分界點 。
可以看到， 第一段 的 ∠ OAO ′ 是 鈍角， 第二段 的 ∠ OAO ′ 是 銳角 。
為了便於敘述， 將 第一段 命名為 “前半周 - 1 段”， 第二段 命名為 “前半周 - 2 段” 。
圖 (1) 
圖 (2)
作 AH 垂直於 OO ′， 與 OO ′ 相交於 H 。 設 大圓 半徑為 R， 小圓 半徑 為 r 。
先看 前半周 - 1 段， 如 圖 (1) ，
∠ BOC = 弧 BC / R ， ∠ AO ′C = 弧 AC / r ， 因為 弧 BC = 弧 AC ， 設 弧 BC = 弧 AC = L， 則
∠ BOC = L / R ， ∠ AO ′C = L / r
O ′H = O ′A * cos ∠ AO ′C = r * cos ( L / r )
AH = O ′A * sin ∠ AO ′C = r * sin ( L / r )
OH = OO ′ - O ′H = ( R + r ) - r * cos ( L / r )
OA = 根號 { AH ² + OH ² } = 根號 { [ r * sin ( L / r ) ] ² + [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] ² }
= 根號 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) }
ρ = OA = 根號 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) }
因為 tan ∠ AOC = AH / OH = r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ]
所以， ∠ AOC = arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] }
θ = ∠ AOB = ∠ BOC - ∠ AOC = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] }
得
ρ = 根號 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) } (1) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] } (2) 式
(1) 式 (2) 式 中， L 為 自變量， ρ 、θ 為 因變量， 根據 (1) 式 (2) 式 可以得到 A 點 的 軌跡 。
也可以 看作 θ 為 自變量， ρ 為 因變量， 這樣 (1) 式 (2) 式 表示 ρ 和 θ 的 函數， 這是一個 隱函數 。 此時， L 好像叫 參數變量， 也可以 簡稱 參數 。 還是叫 中間變量 ？ 中間變元 ？
再來看 前半周 - 2 段， 給 圖 (2) 加上 兩條 輔助線 （紅色）， 如下 圖 (3)
圖 (3)
同樣， ∠ BOC = L / R， ∠ AO ′C = L / r ，
O ′D = O A′ * cos ∠ AO ′D = O ′A * cos ( π - ∠ AO ′C ) = r * cos ( π - L / r )
AD = O ′A * sin ∠ AO ′D = O ′A * sin ( π - ∠ AO ′C ) = r * sin ( π - L / r )
OA = 根號 { OD ² + AD ² } = 根號 { ( OO ′ + O′ D ) ² + AD ² } = 根號 { [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] ² + [ r * sin ( π - L / r ) ] ² }
= 根號 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) }
ρ = OA = 根號 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) }
因為 tan ∠ AOC = AD / OD = AD / ( OO ′ + O ′D ) = r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ]
所以， ∠ AOC = arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] }
θ = ∠ AOB = ∠ BOC - ∠ AOC = L / R - arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] }
得
ρ = 根號 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) } (3) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] } (4) 式
(3) 式 (4) 式 就是 前半周 - 2 段 的 A 點 軌跡 方程 。
因為 sin ( π - L / r ) = sin ( L / r ) ， cos ( π - L / r ) = - cos ( L / r ) ，
所以， (3) 式 (4) 式 可化為
ρ = 根號 { ( R + r ) ² + r ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) } (5) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] } (6) 式
可以看到， (5) 式 (6) 式 和 (1) 式 (2) 式 完全一樣， 所以， 前半周 - 1 段 和 前半周 - 2 段 的 A 點 軌跡方程 是 一致 的， 都是 (1) 式 (2) 式 。
即 前半周 的 A 點 軌跡方程 是 (1) 式 (2) 式 。
后半周 的 A 點 軌跡方程 可 根據 對稱性 從 (1) 式 (2) 式 推導出 。
A 點 的 運動軌跡 是 周期性 的， 前半周 和 后半周 合起來是 一個周期 。
A 點 的 運動軌跡， 也就是 (1) 式 (2) 式 表示 的 曲線， 可以稱為 圓周擺線 。