Codeforces Round #649 (Div. 2)

傳送門

A. XXXXX

維護一個關於模\(x\)的前綴和就行。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/13 23:07:56
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
void run() {
    int n, x; cin >> n >> x;
    vector <int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i] %= x;
    }
    vector <int> sum(n);
    sum[0] = a[0];
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        sum[i] = (sum[i - 1] + a[i]) % x;
    }
    int last = -1;
    int ans = -1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (sum[i] != 0) {
            ans = i + 1;
        } else if (last != -1) {
            ans = max(ans, i - last);
        }
        if (sum[i] > 0 && last == -1) {
            last = i;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

B. Most socially-distanced subsequence

顯然我們最后的選擇一定選擇連續上升/下降的端點，在中間的點選擇對答案不會有貢獻並且會增加序列長度。
所以簡單枚舉判斷一下就行。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/13 23:14:56
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
void run() {
    int n; cin >> n;
    vector <int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    vector <int> b;
    b.push_back(a[0]);
    for (int i = 1, j; i < n; i = j) {
        j = i;
        if (a[j] < a[j - 1]) {
            while (j < n && a[j] < a[j - 1]) ++j;
            b.push_back(a[j - 1]);
        } else {
            while (j < n && a[j] > a[j - 1]) ++j;
            b.push_back(a[j - 1]);           
        }
    }
    cout << sz(b) << '\n';
    for (auto it : b) {
        cout << it << ' ';
    }
    cout << '\n';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

C. Ehab and Prefix MEXs

題意：
給定一個序列\(a\)，\(0\leq a_i\leq i,a_i\leq a_{i+1}\)。
現在要構造出一個序列\(b\)，使得對於每個\(i\)，都有

• \(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})=a_i\)

輸出\(b\)序列。

思路：
注意到若\(a_i\not ={a_{i+1}}\)，那么\(b_{i+1}=a_i\)。因此我們首先可以將這些位置確定。
並且若\(1\)~\(i\)不含\(a_i\)，那么\(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})\leq a_i\)。那么我們現在所考慮的是讓前綴\(MEX\)盡量大並且不包含\(a_i\)。這樣直接貪心構造一下就行。
因為題目條件，顯然至少存在一組合法解。
代碼如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/15 9:28:17
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e6 + 5;
 
bool del[N];
int n;
int a[N], b[N];
 
void run() {
    memset(b, -1, sizeof(b));
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i] != a[i - 1]) {
            del[a[i - 1]] = true;
            b[i] = a[i - 1];
        }
    }
    del[a[n]] = true;
    int m = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (b[i] == -1) {
        while (del[m]) ++m;
        b[i] = m++;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << b[i] << " \n"[i == n];
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

D. Ehab's Last Corollary

和之前一道題很想，找環我們可以直接通過\(dfs\)樹來找。
如果不存在環那么直接按照深度分層即可。
注意奇數層和偶數層都有可能成為答案。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/14 0:25:26
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
vector <int> G[N];
int n, m, k;
int deep[N], father[N];
vector <int> d[N];
 
int t;
vector <int> cyc;
 
void find(int u, int v) {
    while (u != v) {
        cyc.push_back(u);
        u = father[u];
    }
    cyc.push_back(v);
}
 
void dfs(int u, int fa) {
    father[u] = fa;
    deep[u] = deep[fa] + 1;
    d[deep[u]].push_back(u);
    for (auto v : G[u]) if (v != fa) {
        if (deep[v] == -1) {
            dfs(v, u);
        } else if (deep[u] > deep[v]) {
            if (deep[u] - deep[v] + 1 <= k) {
                if (t == 2) continue;
                t = 2;
                find(u, v);
            }
        }
    }
}
 
void run() {
    memset(deep, -1, sizeof(deep));
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    if (t == 2) {
        cout << 2 << '\n';
        cout << sz(cyc) << '\n';
        for (auto it : cyc) {
            cout << it << ' ';
        }
        cout << '\n';
        return;
    }
    vector <int> ans;
    int need = (k + 1) / 2;
    for (int i = 0; i <= n && need; i += 2) {
        for (auto it : d[i]) {
            ans.push_back(it);
            if (--need == 0) {
                break;
            }
        }
    }
    if (need) {
        need = (k + 1) / 2;
        ans.clear();
        for (int i = 1; i <= n && need; i += 2) {
            for (auto it : d[i]) {
                ans.push_back(it);
                if (--need == 0) {
                    break;
                }           
            }
        }
    }
    cout << 1 << '\n';
    for (auto it : ans) {
        cout << it << ' ';
    }
    cout << '\n';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

E. X-OR

題意：
交互題。
現在有\(0...n-1\)的排列\(p\)，每次可以詢問兩個位置\(i,j\)，會回答\(p_i|p_j\)。
現在至多詢問\(4269\)次要求得到排列\(p\)。\(n\leq 2048\)。

思路：
這個題和之前有個每次可以詢問一個集合的最大值有相似之處（貌似只是題意比較類似？）。
首先一看這個詢問次數很容易發現我們詢問大概\(2n+c\)次，並且也很容易發現如果我們知道\(0\)的位置，那么其余的數可以直接求出來。
接下來的任務就是大概\(n+c\)次猜出\(0\)的位置，然后直接得到其余位置的數。
有比較暴力的方法：

• 每次隨機選擇一個數\(p_i\)，並詢問其余在集合\(S\)中的數，找到所有的\(p_j\&p_i=p_j\)的\(j\)，並且找到\(p_i|p_j\)最小的\(val\)，那么容易發現\(val=p_i\)。然后將\(S\)清空將得到的下標集合放入\(S\)中。不斷重復此過程。最后會剩下兩個數，一個為\(0\)，一個為\(2^t\)，再通過隨機找到\(0\)即可。

但遺憾的是上述方法的操作次數較多，通過的幾率不大。
不過這種方法可以進行改進：

• 將之前的隨機選擇一個數該為隨機選擇兩個數進行詢問，若\(p_i|p_j\)的二進制位數不超過\(\frac{logn}{2}\)，那么就選擇這個數然后執行上面類似的操作。

這樣就得到了優化，並且我們每次可以將一個大小為\(n\)的集合變為大小為\(\sqrt{n}\)的集合。因為我們選擇\(p_i\)，其中二進制為\(1\)的個數小於一半，假設為\(\frac{logn}{2}\)，那么其子集個數為\(2^{\frac{logn}{2}}=\sqrt{n}\)。這樣我們就能得到一個比較穩定的方法，並且很容易發現根號的收斂速度還是比較快的，次數也不會超出。

當然上面的做法有點巧妙，有一個更加普遍的做法，就是利用或運算的性質，我們可以通過\(logn\)次詢問獲得\(p_i\)的值。具體就是我們求出\(z_0,z_1,\cdots,z_10\)，\(z_i\)表示第\(i\)為二進制數為\(0\)的下標。那么通過\(p_i\)與\(z_i\)的詢問即可得到第\(i\)位的\(01\)情況。
之后我們還是借用一開始暴力的思想，但是我們現在因為已經知道了\(p_i\)，所以可以直接確定一個數是否為\(p_i\)的子集(並不需要對所有遍歷一遍去找\(val\)了)。那么如果\(p_j\&p_i=p_j\)，直接令新的\(val=p_j\)即可。

兩種做法都很巧妙！感覺二進制好多好多trick...\(n\rightarrow \sqrt{n}\)這里也應該是第一次見吧？
代碼如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/15 10:16:32
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <random>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;
 
mt19937 rnd(time(NULL));
 
void run() {
    int n; cin >> n;
    auto query = [&] (int i, int j) {
        cout << "? " << i << ' ' << j << endl;
        int x; cin >> x;
        return x;
    };
    
    int high;
    for (int i = 11; i >= 0; i--) {
        if ((n - 1) >> i & 1) {
            high = i + 1;
            break;
        }
    }
    vector <int> z(high, -1);
    while (count(all(z), -1)) {
        int i = rand() % n + 1, j = rand() % n + 1;
        if (i == j) continue;
        int val = query(i, j);
        for (int k = 0; k < high; k++) {
            if (!(val >> k & 1)) {
                z[k] = i;
            }
        }
    }
 
    auto get = [&](int p) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < high; i++) {
            if (z[i] == p) continue;
            int val = query(z[i], p);
            if (val >> i & 1) {
                res += 1 << i;
            }
        }
        return res;
    };
    
    
    vector <int> ans(n, -1);
    int zero = 1;
    int val = get(1);
    ans[0] = val;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int v = query(zero, i);
        if ((v & val) == v) {
            zero = i;
            val = get(i);
            ans[i - 1] = val;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (ans[i - 1] == -1) {
           ans[i - 1] = query(zero, i);
        } 
    }
    cout << "!";
    for (auto it : ans) {
        cout << ' ' << it;
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}