題意
題意奇奇怪怪，這里就不寫了。
\(\texttt{Data Range:}1\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 2\times 10^5\)
題解
為什么你們都是卡在數學方面，難道只有我卡在不曉得怎么維護上面嗎
看到下面的題解通篇的泰勒展開，我決定寫一篇從 \(\texttt{EGF}\) 上說明的題解，而且公式也比下面的清晰的多。
首先我們做個熱身，先來看 \(e^x,\sin x,\cos x\) 對應的 \(\texttt{EGF}\)：
\[e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!} \]
\[\sin x=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!} \]
\[\cos x=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^{2i}}{(2i)!} \]
接下來我們用 \(ax\) 替換 \(x\) 得到：
\[e^{ax}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{a^ix^i}{i!} \]
\[\sin (ax)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ia^{2i+1}x^{2i+1}}{(2i+1)!} \]
\[\cos (ax)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ia^{2i}x^{2i}}{(2i)!} \]
如果寫的更直觀一點呢？
\[e^{ax}=1+ax+\frac{a^2x^2}{2!}+\frac{a^3x^3}{3!}+\cdots \]
\[\sin(ax)=ax-\frac{a^3x^3}{3!}+\frac{a^5x^5}{5!}-\frac{a^7x^7}{7!}+\cdots \]
\[\cos(ax)=1-\frac{a^2x^2}{2!}+\frac{a^4x^4}{4!}-\frac{a^6x^6}{6!}+\cdots \]
接下來就是正題了。
考慮到 \(e^{ax+b}=e^{ax}\cdot e^{b}\)，而 \(b\) 是給定常數，所以
\[e^{ax+b}=e^b(1+ax+\frac{a^2x^2}{2!}+\frac{a^3x^3}{3!}+\cdots)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{e^ba^ix^i}{i!} \]
然后根據常見的三角恆等變換公式，我們有
\[\sin(ax+b)=\sin(ax)\cos b+\cos(ax)\sin b \]
而 \(b\) 是給定的常數，所以
\[\sin(ax+b)=\cos b(ax-\frac{a^3x^3}{3!}+\frac{a^5x^5}{5!}-\frac{a^7x^7}{7!}+\cdots)+\sin b(1-\frac{a^2x^2}{2!}+\frac{a^4x^4}{4!}-\frac{a^6x^6}{6!}+\cdots) \]
\[\sin(ax+b)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\cos b(-1)^ia^{2i+1}x^{2i+1}}{(2i+1)!}+\frac{\sin b(-1)^ia^{2i}x^{2i}}{(2i)!} \]
然后維護一下這些 \(\texttt{EGF}\) 就可以直接做了。我的代碼維護到 \(15\) 項，所以比較慢，但還是能過。（至少不用像鰰一樣預處理組合數）
代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
typedef long double db;
const ll MAXN=2e5+51;
struct Polynomial{
db cof[16];
Polynomial()
{
memset(cof,0,sizeof(cof));
}
inline Polynomial operator +(const Polynomial &rhs)const
{
Polynomial res;
for(register int i=0;i<16;i++)
{
res.cof[i]=cof[i]+rhs.cof[i];
}
return res;
}
inline db eval(db x)
{
db res=0,cur=1;
for(register int i=0;i<16;i++)
{
res+=cof[i]*cur,cur*=x;
}
return res;
}
inline void op()
{
for(register int i=0;i<16;i++)
{
printf("%.8Lf\n",cof[i]);
}
}
};
ll n,m,x,y,typ;
db u,v;
string type,op;
inline ll read()
{
register ll num=0,neg=1;
register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
{
ch=getchar();
}
if(ch=='-')
{
neg=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return num*neg;
}
namespace LCT{
struct Node{
ll fa,rv,sz;
Polynomial poly,sum;
ll ch[2];
};
struct LinkCutTree{
Node nd[MAXN];
ll st[MAXN];
#define ls nd[x].ch[0]
#define rs nd[x].ch[1]
inline bool nroot(ll x)
{
return nd[nd[x].fa].ch[0]==x||nd[nd[x].fa].ch[1]==x;
}
inline void update(ll x)
{
nd[x].sum=nd[ls].sum+nd[rs].sum+nd[x].poly;
}
inline void reverse(ll x)
{
swap(ls,rs),nd[x].rv^=1;
}
inline void spread(ll x)
{
if(nd[x].rv)
{
ls?reverse(ls):(void)(1),rs?reverse(rs):(void)(1);
nd[x].rv=0;
}
}
inline void rotate(ll x)
{
ll fa=nd[x].fa,gfa=nd[fa].fa;
ll dir=nd[fa].ch[1]==x,son=nd[x].ch[!dir];
if(nroot(fa))
{
nd[gfa].ch[nd[gfa].ch[1]==fa]=x;
}
nd[x].ch[!dir]=fa,nd[fa].ch[dir]=son;
if(son)
{
nd[son].fa=fa;
}
nd[fa].fa=x,nd[x].fa=gfa,update(fa);
}
inline void splay(ll x)
{
ll fa=x,gfa,cur=0;
st[++cur]=fa;
while(nroot(fa))
{
st[++cur]=fa=nd[fa].fa;
}
while(cur)
{
spread(st[cur--]);
}
while(nroot(x))
{
fa=nd[x].fa,gfa=nd[fa].fa;
if(nroot(fa))
{
rotate((nd[fa].ch[0]==x)^(nd[gfa].ch[0]==fa)?x:fa);
}
rotate(x);
}
update(x);
}
inline void access(ll x)
{
for(register int i=0;x;x=nd[i=x].fa)
{
splay(x),rs=i,update(x);
}
}
inline void makeRoot(ll x)
{
access(x),splay(x),reverse(x);
}
inline ll findRoot(ll x)
{
access(x),splay(x);
while(ls)
{
spread(x),x=ls;
}
return x;
}
inline void split(ll x,ll y)
{
makeRoot(x),access(y),splay(y);
}
inline void link(ll x,ll y)
{
makeRoot(x);
if(findRoot(y)!=x)
{
nd[x].fa=y;
}
}
inline void cut(ll x,ll y)
{
makeRoot(x);
if(findRoot(y)==x&&nd[x].fa==y&&!rs)
{
nd[x].fa=nd[y].ch[0]=0,update(y);
}
}
#undef ls
#undef rs
};
}
LCT::LinkCutTree lct;
inline Polynomial sin(db u,db v)
{
Polynomial res;
db sinv=sin(v),cosv=cos(v),pw=1,fact=1;
for(register int i=0;i<16;i++)
{
res.cof[i]=(i&2?-1:1)*(i&1?cosv:sinv)*pw*fact,pw*=u,fact/=(1.0*(i+1));
}
return res;
}
inline Polynomial exp(db u,db v)
{
Polynomial res;
db expv=exp(v),pw=1,fact=1;
for(register int i=0;i<16;i++)
{
res.cof[i]=expv*pw*fact,pw*=u,fact/=1.0*(i+1);
}
return res;
}
inline Polynomial linear(db u,db v)
{
Polynomial res;
res.cof[0]=v,res.cof[1]=u;
return res;
}
int main()
{
n=read(),m=read(),cin>>type;
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
typ=read(),scanf("%Lf%Lf",&u,&v);
lct.nd[i].poly=typ==1?sin(u,v):typ==2?exp(u,v):linear(u,v);
}
for(register int i=0;i<m;i++)
{
cin>>op;
if(op=="appear")
{
x=read()+1,y=read()+1,lct.link(x,y);
}
if(op=="disappear")
{
x=read()+1,y=read()+1,lct.cut(x,y);
}
if(op=="magic")
{
x=read()+1,typ=read(),scanf("%Lf%Lf",&u,&v);
lct.splay(x);
lct.nd[x].poly=typ==1?sin(u,v):typ==2?exp(u,v):linear(u,v);
}
if(op=="travel")
{
x=read()+1,y=read()+1,scanf("%Lf",&u);
if(lct.findRoot(x)!=lct.findRoot(y))
{
puts("unreachable");
continue;
}
lct.split(x,y),printf("%.12Lf\n",lct.nd[y].sum.eval(u));
}
}
}