【轉】兩種最小生成樹畫法

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關於圖的幾個概念定義：

• 連通圖：在無向圖中，若任意兩個頂點v_i與v_j都有路徑相通，則稱該無向圖為連通圖。

• 強連通圖：在有向圖中，若任意兩個頂點v_i與v_j都有路徑相通，則稱該有向圖為強連通圖。

• 連通網：在連通圖中，若圖的邊具有一定的意義，每一條邊都對應着一個數，稱為權；權代表着連接連個頂點的代價，稱這種連通圖叫做連通網。

• 生成樹：一個連通圖的生成樹是指一個連通子圖，它含有圖中全部n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。一顆有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊，如果生成樹中再添加一條邊，則必定成環。

• 最小生成樹：在連通網的所有生成樹中，所有邊的代價和最小的生成樹，稱為最小生成樹。

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下面介紹兩種求最小生成樹算法

1.Kruskal算法

此算法可以稱為“加邊法”，初始最小生成樹邊數為0，每迭代一次就選擇一條滿足條件的最小代價邊，加入到最小生成樹的邊集合里。

1. 把圖中的所有邊按代價從小到大排序；
2. 把圖中的n個頂點看成獨立的n棵樹組成的森林；
3. 按權值從小到大選擇邊，所選的邊連接的兩個頂點u_i,v_i,應屬於兩顆不同的樹，則成為最小生成樹的一條邊，並將這兩顆樹合並作為一顆樹。
4. 重復(3),直到所有頂點都在一顆樹內或者有n-1條邊為止。

2.Prim算法

此算法可以稱為“加點法”，每次迭代選擇代價最小的邊對應的點，加入到最小生成樹中。算法從某一個頂點s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網的所有頂點。

1. 圖的所有頂點集合為V；初始令集合u={s},v=V−u ;
2. 在兩個集合u,vu,v能夠組成的邊中，選擇一條代價最小的邊(u₀,v₀)，加入到最小生成樹中，並把v₀並入到集合u中。
3. 重復上述步驟，直到最小生成樹有n-1條邊或者n個頂點為止。

由於不斷向集合u中加點，所以最小代價邊必須同步更新；需要建立一個輔助數組closedge,用來維護集合v中每個頂點與集合u中最小代價邊信息：

struct { char vertexData //表示u中頂點信息 UINT lowestcost //最小代價 }closedge[vexCounts]