數學基礎知識、常用公式總結|Colourso

特殊數字

自然常數 e = 2.71828183，是一個無限不循環小數。

圓周率 pi = 3.1415926

充分與必要條件

假設A是條件，B是結論

（1）由A可以推出B，由B可以推出A，則A是B的充要條件(A=B)

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的充分不必要條件(A⊆B)

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，則A是B的必要不充分條件(B⊆A)

（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的既不充分也不必要條件(A￠B且B￠A)

常用不等式

1.兩數絕對值之差的絕對值小於等於兩數之差的絕對值

\[||a| - |b| | \leq |a-b| \]

2.一個正數加它的倒數恆大於等於2

\[a + \frac{1}{a} - 2 \\ = \frac{a^2 + 1 -2a}{a} \\ = \frac{(a-1)^2}{a} \\ \geq 0 \\ 故 a + \frac{1}{a} \geq 2 \]

3.基本不等式：兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。

\[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a+b}\\ \\ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a+b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \\ 平方平均 \qquad 代數平均 \qquad 幾何平均 \qquad 調和平均\\ \]

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

則 2ab < a^2 + b^2，兩個或者三個數相乘時就要想到他。

4.sin x與x與tan x之間的關系

\[\sin x < x < \tan x \qquad (0 < x < \frac{\pi}{2}) \\ \\ 額外： \sin x \geq (\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2 \geq 1 - \cos x\\ \\ 即： \sin x \geq 1 - \cos x \]

5.x與ln(1+x)之間的關系

\[\frac{x}{1+x} < \ln{(1+x)} < x \qquad (x > 0) \\ 證： \quad \ln{(1+x)} = \ln{(1+x)} - \ln{1} \\ 由拉格朗日中值定理： \quad f(x) = \ln{x}。a = 1 , b = 1+x。 \\ 存在 a < c < b，使得 \quad \ln{(1+x)} = f^{'}(c) (1+x - 1) \\ 即： \quad = \frac{x}{c} \\ 因： 1 < c < 1+x，故 \quad \frac{x}{1+x} < \frac{x}{c} < \frac{x}{1} \quad 即證 \]

平方和(差)與立方和(差)

完全平方：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

平方和：1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

平方差：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

立方和：a^3 + b^3 = (a+b)(a^2+ab+b^2)

立方差：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

和的立方：$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

差的立方：$$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$

n次方之差：$$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b2 + 。。。 + ab^{n-2} + b^{n-1})$$

一個常用的變形：

\[\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}\\ = \frac{1}{2}\times \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\ = \frac{1}{2}\times (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \\ 推導：\\ \frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\times(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}) \]

另一個常用變形：

\[\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \]

除此之外做題碰到的一個

\[\frac{1}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{(1-x)\times(1+x)^2} \\ \frac{1}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{2} \times\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x^2)\times(1+x)} = \frac{1}{2} \times \lbrace \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{(1-x^2)} \rbrace \]

對數運算

對數可以讓乘除變加減

【定義】如果\(N=a^x（a;0,a≠1）\)，即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那么數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作：\(x=log_aN\)

\[N = a^x\\ 則 x = \log_a N \]

其中，a叫做對數的底數，N叫做真數，x叫做“以a為底N的對數”。

對數的一些基本性質:

\[1. \quad a^{\log_ab} = b \\ \\ 2. \quad \log_a{a^b} = b \\ \\ 3. \quad \log_a{MN} = \log_aM + \log_aN \\ \\ 4. \quad \log_a{(M/N)} = \log_aM - \log_aN \\ \\ 5. \quad \log_a{M^n} = n \log_aM \\ \\ 6. \quad \log_{a^n}M = \frac{1}{n\log_aM} \\ \\ 7. \quad \log_aN = \frac{\log_bN}{\log_ba} \quad (換底公式) \\\\ 8. \quad \log_ab = \frac{1}{\log_ba} \]

等差數列

等比數列

排列組合

排列，就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。

組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。

三角函數

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奇變偶不變，符號看象限。

任意角度均可表示為\(\frac{k \pi}{2} + a \quad (k為整數) , |a|< \frac{\pi}{4}\)

當k為偶數時，得到a的同名函數值，即函數名不變.

當k為奇數的時候，得到a的異名函數值，即\(\sin -- \cos，\cos -- \sin\)等。

符號看象限是指通過公式左邊的角度所落的象限決定公式右邊是正還是是負，記得視a為銳角。

各種三角函數在四個象限內的符號判斷：一全正；二正弦(余割)；三兩切；四余弦(正割)。

第一象限內任何一個角的三角函數值都是“+”；

第二象限內只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；

第三象限內只有正切和余切是“+”，其余函數是“－”；

第四象限內只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。

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\[\sin{a} - \cos{a} = {\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2} \sin{a} - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos{a}) = \sqrt{2} \sin{(a - \frac{\pi}{4})} \]

sec x是正割，$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $

csc x是余割，\(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)

cot x是余切，\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

\[(\tan x)^{'} = (\sec x)^2 \\ (\cot x)^{'} = -(\csc x)^2 \\ (\sec x)^2 - 1 = (\tan x)^2 \\ \]

反三角函數

y=arcsin(x)，定義域[-1，1]，值域[-π/2,π/2]

y=arccos(x)，定義域[-1，1]，值域[0，π]

y=arctan(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(-π/2，π/2)

y=arccot(x)，定義域(-∞，+∞)，值域(0，π)

sin(arcsinx)=x，定義域[-1，1]，值域[-1，1]arcsin(-x)=-arcsinx

正余弦定理

正弦定理： R為三角形外接圓的半徑

\[\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R \]

余弦定理：

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA \]

經典函數圖像

參考鏈接：https://wenku.baidu.com/view/d66747d176eeaeaad1f33099.html

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坐標系

空間直角坐標系

過空間定點O作三條互相垂直的數軸,它們都以O為原點,具有相同的單位長度.這三條數軸分別稱為X軸(橫軸).Y軸(縱軸).Z軸(豎軸),統稱為坐標軸。

各軸之間的順序要求符合右手法則,即以右手握住Z軸,讓右手的四指從X軸的正向以90度的直角轉向Y軸的正向,這時大拇指所指的方向就是Z軸的正向。這樣的三個坐標軸構成的坐標系稱為右手空間直角坐標系.與之相對應的是左手空間直角坐標系.一般在數學中更常用右手空間直角坐標系，在其他學科方面因應用方便而異。

三條坐標軸中的任意兩條都可以確定一個平面,稱為坐標面.它們是:由X軸及Y軸所確定的XOY平面;由Y軸及Z軸所確定的YOZ平面；由X軸及Z軸所確定的XOZ平面．這三個相互垂直的坐標面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限．位於X，Y，Z軸的正半軸的卦限稱為第一卦限，從第一卦限開始，在XOY平面上方的卦限，按逆時針方向依次稱為第二，三，四卦限；第一，二，三，四卦限下方的卦限依次稱為第五，六，七，八卦限。

右手坐標系

要標注X、Y和Z軸的正軸方向，就將右手背對着屏幕放置，拇指即指向X軸的正方向。伸出食指和中指，如下圖所示，食指指向Y軸的正方向，中指所指示的方向即是Z軸的正方向。要確定軸的正旋轉方向，如下圖所示，用右手的大拇指指向軸的正方向，彎曲手指。那么手指所指示的方向即是軸的正旋轉方向。

極坐標系

極坐標系是一個二維坐標系，該坐標系統中任意位置可由一個夾角和一段相對原點——極點的距離來表示。

極坐標系是指在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從O出發引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個單位長度，通常規定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。

常見的極坐標方程

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常見圓錐曲線

圓錐曲線的統一定義：到定點的距離與到定直線的距離的商是常數e的點的軌跡。

橢圓：

1、中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²

2、中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²

參數方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ為參數，0≤θ≤2π)

橢圓面積公式：s=πab

雙曲線：

1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².

2、中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².

參數方程：x=asecθ;y=btanθ(θ為參數)

拋物線：

參數方程:x=2pt²；y=2pt(t為參數)t=1/tanθ(tanθ為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率)特別地，t可等於0

直角坐標:y=ax²+bx+c(開口方向為y軸，a≠0)x=ay²+by+c(開口方向為x軸，a≠0)

直線方程

兩條直線垂直，其斜率乘積為-1.

點斜式：\(y - y_0 = k(x - x_0)\)

斜截式：\(y = kx + b\) ，與y軸交點為(0,b)

兩點式：\(\frac{y - y_1}{y - y_2} = \frac{x - x_1}{x - x_2}\) 。過兩點。

截距式：\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) ，x截距為a，y截距為b。

一般式：\(Ax + By + C = 0\)

兩點之間的距離公式：\(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

點到直線的距離公式：\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

兩條平行直線的距離公式：\(d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)

圓的方程

圓的一般方程為\(x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F > 0)\)，或可以表示為\((X+D/2)²+(Y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4\)。

標准方程：\((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\)。圓心為(a,b)，半徑為R。

立體體積計算公式

球：\(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

圓錐：\(V =\frac{1}{3}\pi R^2h\).