Codeforces 1354C1 - Simple Polygon Embedding （幾何）

題面

Time limit per test: 2 seconds

Memory limit per test: 256 megabytes

Description

You are given a regular polygon with 2⋅n vertices (it's convex and has equal sides and equal angles) and all its sides have length 1. Let's name it as 2n-gon.

Your task is to find the square of the minimum size such that you can embed 2n-gon in the square. Embedding 2n-gon in the square means that you need to place 2n-gon in the square in such way that each point which lies inside or on a border of 2n-gon should also lie inside or on a border of the square.

You can rotate 2n-gon and/or the square.

Input

The first line contains a single integer T (1≤T≤200) — the number of test cases.

Next T lines contain descriptions of test cases — one per line. Each line contains single even integer n (2≤n≤200). Don't forget you need to embed 2n-gon, not an n-gon.

Output

Print T real numbers — one per test case. For each test case, print the minimum length of a side of the square 2n-gon can be embedded in. Your answer will be considered correct if its absolute or relative error doesn't exceed 10⁻⁶.

Example

input

3
2
4
200

output

1.000000000
2.414213562
127.321336469

題意

給定一個邊長為 1 的正 2n 邊形

求外接正方形的最小面積

解題思路 1

因為本題給定的 n 是偶數

故正方形與正 2n 邊形恰好可以有4條邊重合

正八邊形如下：

正十二邊形如下：

以正十二邊形為例，根據對稱性，可以先只看右上的部分：

根據正十二邊形的每條邊再畫出水平和豎直的兩條邊，組成一個直角三角形

可以得到，最上邊截得半條邊，長度為 1/2

在所有斜邊中，因為正多邊形角度平分，所以可以得到每條斜邊與水平邊的夾角是平分90°角的

所以這張圖中的水平長度為

1/2 + 1*cos30° + 1*cos60°

實際正方形邊長為 2*(1/2 + 1*cos30° + 1*cos60°)

推廣出去，對於正十六邊形

在四分之一圖中共有三條斜邊

所以將 90° 角分為 4 份，每份 22.5°

實際邊長為 2*(1/2 + 1*cos22.5° + 1*cos45° + 1*cos67.5°)

可以發現，從四邊形開始，每增加四條邊，斜邊數量+1

故斜邊數量可以通過 n/2-1 得到，每次增加 90/(n/2) °

程序 1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI=acos(-1.0);
const double epsilon=PI/180.0; //角度轉弧度

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    double tri=90.0/(n/2),trid=0.0,ans=0;
    for(int i=1;i<n/2;i++)
    {
        trid+=tri;
        ans+=cos(trid*epsilon);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(9)<<(ans+0.5)*2<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}

解題思路 2

由於本題給定的 n 是偶數

故正方形與正 2n 邊形恰好可以有4條邊重合

所以這個正 2n 邊形的內接圓直徑恰好為外接最小正方形的直徑

以正十二邊形為例

將正 2n 邊形分成 2n 份，得到一個底邊為 1 的等腰三角形

頂角 θ = 360/(2*n) = 180/n

計算可得 內接圓半徑為 0.5/tan(θ/2)

所以答案即 1/tan(θ/2)

程序 2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI=acos(-1.0);
const double epsilon=PI/180.0; //角度轉弧度

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<fixed<<setprecision(9)<<1.0/tan(90.0/n*epsilon)<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}