題面

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Description

You are given a regular polygon with 2⋅n vertices (it's convex and has equal sides and equal angles) and all its sides have length 1. Let's name it as 2n-gon.

Your task is to find the square of the minimum size such that you can embed 2n-gon in the square. Embedding 2n-gon in the square means that you need to place 2n-gon in the square in such way that each point which lies inside or on a border of 2n-gon should also lie inside or on a border of the square.

You can rotate 2n-gon and/or the square.

Input

The first line contains a single integer T (1≤T≤200) — the number of test cases.

Next T lines contain descriptions of test cases — one per line. Each line contains single odd integer n (3≤n≤199). Don't forget you need to embed 2n-gon, not an n-gon.

Output

Print T real numbers — one per test case. For each test case, print the minimum length of a side of the square 2n-gon can be embedded in. Your answer will be considered correct if its absolute or relative error doesn't exceed 10⁻⁶.

Example

input

output

1.931851653
3.196226611
126.687663595

題意

給定一個邊長為 1 的正 2n 邊形

求外接正方形的最小面積

解題思路

因為本題給定的 n 是奇數

又因為外接正方形要求面積最小

所以不會有邊與正方形重合，只存在四個點會位於外接正方形的四條邊上

以正十邊形為例

Z10

外接正方形的作圖方法為

選擇一對連線能夠通過正十邊形中心點的點對，連接兩點，並向兩端延長

然后從正十邊形中心點開始作垂直於前面那條邊的邊，並向兩端延長

然后以這兩條線為准作一個斜45°正方形

為將正方形縮小到最小，所以要保證正十邊形上有點會落在正方形上

故作出來的圖如上圖所示

具體作圖法放在了文章末尾

只看其四分之一部分

首先可以通過 360°/(2*n) 來求出每份角的角度 ang

因為邊長為 1 ，所以可以通過一個頂角為 ang ，底邊為 1 的等腰三角形來求出腰長 x = 0.5/sin(ang/2)

因為總共有 10 個角，所以在四分之一圖中平均有 10/4 = 2.5個角

因為這些正多邊形都是凸多邊形，所以與正方形的交點一定是最接近於中間位置的那個點 （文章末尾也會解釋這一點）

所以實際的 θ = round(2.5/2)*ang

公式里表示為 ang2 = round(n/4)*ang

對於ans1，根據正弦定理

可以得到 ans1 / sinθ = x / sin45°

得到 ans1 = x / sin45° * sinθ

對於ans2，根據正弦定理

可以得到 ans2 / sin(90°-θ) = x / sin45°

得到 ans2 = x / sin45° * sin(90°-θ)

相加即為正方形邊長

完整程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double PI=acos(-1.0);
const double epsilon=PI/180.0; //角度轉弧度

void solve()
{
    int n;
    cin>>n;
    double ang=180.0/n;
    double ang2=round(n/4.0)*ang;
    double x=1.0/(2.0*sin(ang/2.0*epsilon));
    double ans1=x/sin(45.0*epsilon)*sin(ang2*epsilon);
    double ans2=x/sin(45.0*epsilon)*sin((90.0-ang2)*epsilon);
    cout<<fixed<<setprecision(9)<<ans1+ans2<<'\n';
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;cin>>T;
    while(T--)
        solve();
    return 0;
}