該系列為DR_CAN自動控制原理視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由於筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。
1 比例控制器的不足
之前提到過，比例控制不能很好的消除系統的穩態誤差，因此需要引入積分控制來消除穩態誤差。以下是比例控制閉環系統輸出的穩態誤差推導，之前有詳細說過這里不再贅述：
2 設計新的控制器
經過推導我們發現僅用比例控制器無法消除穩態誤差，因此我們需要設計新的控制器。假設新控制器的傳遞函數為 \(C(s)\) ，這樣我們可以計算出新的穩態誤差表達式。並且我們希望新的控制器可以消除穩態誤差，也就是令 \(\lim _{t \rightarrow \infty} x_{(t)}=r\) ，其中 \(r\) 為目標值，經過計算我們得到了以下結果：
我們發現要想新的控制器可以消除穩態誤差，我們需要一個積分過程，為了調節積分控制器的表現，我們在前面乘一個積分增益 \(K_i\) 。接下來我們把 \(C(s)\) 代入上面的系統輸出表達式中：
接下來我們把分母乘過去，然后進行拉普拉斯逆變換得到一個微分方程。這時候可以發現這個微分方程變成了一個二階系統的階躍響應：
這樣，結合二階系統階躍響應的有關內容，我們可以很直觀的感受到積分增益 \(K_i\) 的變化給系統帶來的影響。
3 在Simulink中測試
首先我們分別搭建比例閉環控制和積分閉環控制：
階躍響應結果如下：
可以看到，藍色的比例控制收斂較快，但存在較大的穩態誤差，根據終值定理我們知道這個穩態誤差是目標值的50%。而橙色的積分控制可以很好的消除穩態誤差，但存在一定的超調和振盪，這是因為加入比例控制后給一階系統進入了一個新的極點，具有二階系統的階躍響應特性。另外的，積分控制的收斂速度相對較慢，這是因為積分的過程需要一定的時間，在一開始積分較小並不能很好的驅動系統。那么我們可以通過將比例控制與積分控制結合在一起來：
可以看到，我們新設計的比例積分控制器可以兼顧兩種控制器的優點，達到收斂迅速同時可以消除穩態誤差的目的。