四參數正弦函數高斯牛頓法擬合
先給出幾個主要的參考資料：
這個過程比較詳細，我主要參考的是這個：https://wenku.baidu.com/view/70d5d05f312b3169a451a401.html
這個對概念介紹的比較清楚：https://wenku.baidu.com/view/5f5270bb5ff7ba0d4a7302768e9951e79a896944.html?fr=search
其他參考：
https://wenku.baidu.com/view/a6ac0bef19e8b8f67c1cb92a.html
知網論文：四參數正弦曲線擬合的一種收斂算法_梁志國
前言：
前些天寫了計算方法與實現的論文，為了完成論文中模型的搭建，特意去學習了正弦函數的參數擬合方法。在這里記錄一下。
方法簡介：
有待擬合正弦函數：
對於該函數f(x)，由於其四個未知參數分布復雜，是一個求非線性方程組解的最小平方和的問題，因此它難以直接使用最小二乘法來進行擬合。經典的高斯牛頓法擬合四參數正弦函數具體方法如下：
對於正弦函數記待估計系數向量為
，則在此系數下， 記
。
假設已知n個點 
，要使用以上點集擬合函數 f(x)，則需使得殘差平方和
最小。
也就是使
設
，對上述偏微分方程進行求導化簡，易得以下非線性方程組
此時需要采用高斯牛頓法解此四元非線性方程組。
記向量函數：
以及雅可比矩陣
對於某個系數向量近似解
，對向量函數
做一階Taylor展開，得：
至此，我們實際上得到了一個Newton迭代公式，即：
只需要設置初值
，並代入迭代式進行一定次數的迭代，就能求出指定收斂精度下的近似解
，使得殘差平方和逼近最小。
在計算時，可記
，將牛頓迭代式轉變成：
該式第二行為線性方程組：
此線性方程組可使用高斯消元法或雅可比迭代法求解。
，
為指定精度，當
時即可停止迭代。
在使用高斯牛頓法解正弦函數擬合問題時，需格外注意初值
，初值選取不當可能會導致迭代發散或者收斂到局部最優值上。