最小二乘法的計算方法（回歸直線法）

 

我們有一條曲線，怎么畫出線性回歸曲線呢？

第一   先把n個數據測量值畫在坐標紙上，如果呈現一種直線趨勢，才可以進行最小二乘法（直線回歸法）。

　　

第二  然后就是計算這些n個數據點的橫坐標和縱坐標的各自平均值，利用如下計算公式：

　　

 

 

 第三  接着計算所有點的橫坐標求和結果，以及所有點的縱坐標求和結果，如下圖所示：

　　

 

 

 

 第四  然后是計算每個數據點橫坐標的平方，然后求和，以及計算每個點橫坐標乘以縱坐標的乘積，然后求和，如下圖所示：

　　

第五  最后就是利用兩個公式，把將要求的直線方程中的截距a和斜率b這兩個參數代入上面的公式計算出來，如下圖所示：

　　

 

 

 第六  求出了a和b這兩個參數之后，就可以得到直線方程：y=ax+b。這個時候還要利用這個方程，先取兩個點，

這兩個點要求橫坐標x1和x2距離比較遠，這樣誤差會比較小（太近的兩個點，誤差比較大），

然后分別代入剛求出來的直線方程y=ax+b，求出對應的y1和y2，然后把（x1，y1）和（x2，y2）描點在坐標紙上，

這樣就可以利用兩點畫出一條最終的回歸直線了。

　　

 

方法分享結束：那么這些計算方法對不對呢？我們怎么驗證查看呢？這個才是關鍵，如果方法是錯的，我們的結果將沒有意義！

驗證步驟1：首先創建一個空白 Excel文件

驗證步驟2：在Excel里面錄入一些待驗證使用的數據

　　

驗證步驟3：鼠標選中這些數據，右鍵菜單  快速分析

　　

 

驗證步驟4：選擇圖表、散點圖

 　　

 

驗證步驟5：鼠標點擊圖表中出現的五個點中的任意一個，在點被選中的狀態下，右鍵菜單，添加趨勢線

　　

 

 驗證步驟6：最后看到我們的方法計算的結果 與 Excel自動計算的結果 是一樣的（驗證完成）

 　　

 

C#測試

 

        /// <summary>
        /// 計算結果
        /// </summary>
        /// <param name="sender"></param>
        /// <param name="e"></param>
        private void btnCalculationResults_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            double a = 0.0;
            double b = 0.0;

            double RCA = 0.0;
            double RCB = 0.0;
            double residualSS = 0.0;
            double regressionSS = 0.0;

            double[] dx = new double[5];
            double[] dy = new double[5];
            double[] dr = new double[5];

            foreach (Control ctl in this.Controls)
            {
                if (ctl is TextBox && ctl.Name != "textBox1")
                {

                    try
                    {
                        int i = Convert.ToInt32(ctl.Name.Substring(ctl.Name.LastIndexOf("_") + 1))-1;
                        dx[i] = Convert.ToDouble(ctl.Text.Substring(0,ctl.Text.LastIndexOf(",")));
                        dy[i] = Convert.ToDouble(ctl.Text.Substring(ctl.Text.LastIndexOf(",") + 1));
                    }
                    catch (Exception ex)
                    {
                        MessageBox.Show("轉換出錯：" + ex.Message);
                        return;
                    }

                }
            }

            this.textBox1.Text = $"===========最小二乘法線性回歸 ab值===============" + "\r\n";
            dr = FitLine.MultiLine(dx, dy, 5, 1);
            this.textBox1.AppendText($"a={dr[0]},  b={dr[1]} " + "\r\n");

            double maxErr = 0.0;
            double rSquared = 0.0;
            FitLineTwo.CalcRegress(dx, dy, 5, out a, out b, out maxErr, out rSquared);
            this.textBox1.AppendText($"========最小二乘法線性回歸 ab值 + MaxErr + R² ======" + "\r\n");
            this.textBox1.AppendText($"a={a},  b={b} " + "\r\n");
            this.textBox1.AppendText($"maxErr={maxErr},  R²={rSquared} " + "\r\n");

        }

 

 

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