機器人學——1.8-單位四元數

四元數是復數的一種擴展，或叫超復數，記作一個標量加上一個向量：
$\begin{array}{rl} \mathring{q}&=s+v\\ &=s+v_1i+v_2j+v_3k \end{array}$其中， $s\in\mathbb{R}$， $v\in\mathbb{R}^3$，正交復數 $i$， $j$， $k$ 的定義如下
$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$我們將一個四元數表示為
$\mathring{q}=s<v_1, v_2, v_3>$
早期反對四元數的一-個理由是其乘法不可交換，但正如我們在上面看到的，這種不可交換性正好符合坐標系旋轉的情況。除去最初的爭論不說，四元數以其格式優雅、功能強大、計算簡單已被廣泛應用於機器人、計算機視覺、計算機圖形學以及航空航天慣性導航領域。

在機器人工具箱中，四元數是由名為Quaternion的類來實現的。構造函數將傳遞的參數轉換為四元數，例如：

>> q = Quaternion(rpy2tr(0.1, 0.2, 0.3))
q = 
0.98186 < 0.064071, 0.091158, 0.15344 >

為了描述坐標系的旋轉，我們使用單位四元數。這些四元數為一個單位大小，即 $|\mathring{q}| =1$ 或 $s^2+v_1^2+v_2^2+v_3^2=1$。例如：

>> q.norm
ans =
     1

單位四元數具有一個特殊屬性，它可以被看作是繞單位向量 $\hat{n}$ 旋轉了 $\theta$ 角，該旋轉與四元數組的關系為
$s=\cos\frac{\theta}{2}, \quad v = \left(\sin\frac{\theta}{2}\right)\hat{n}$與繞任意向量旋轉相似。
Quaternion類可以重載一些標准方法和函數。四元數的乘法通過重載乘法運算符調用：

>> q = q * q;

求一個四元數的共軛為

>> q.inv()
ans = 
0.98186 < -0.064071, -0.091158, -0.15344 >

一個四元數乘以它的逆四元數為

>> q * q.inv()
ans = 
1 < 0, 0, 0 >

或者

>> q / q
ans = 
1 < 0, 0, 0 >

得出一個單位四元數，它代表一個無效旋轉。
一個四元數可以用以下方式轉化為一個正交旋轉矩陣:

>> q.R
ans =
    0.9363   -0.2896    0.1987
    0.3130    0.9447   -0.0978
   -0.1593    0.1538    0.9752

我們也可以用以下函數繪制一個四元數所指的方向：

>> q.plot()

在四元數的情況下，廣義位姿是 $\xi \sim \mathring{q} \in \mathbb{Q}$，且
$\mathring{q_1}\oplus\mathring{q_2}\mapsto s_1s_2-v_1\cdot v_2,<s_1v_2+s_2v_1+v_1\times v_2>$上式被稱為四元數積或漢密爾頓積，並有
$\ominus\mathring{q}\mapsto\mathring{q}^{-1}=s,<-v>$這是四元數的共軛。零位姿 $0\mapsto1<0,0,0>$，為單位四元數。一個向量 $v\in\mathbb{R}^3$ 被旋轉，表示為 $\mathring{q}\cdot v\mapsto\mathring{q}\mathring{q}(v)\mathring{q}-1$，其中 $\mathring{q}(v)=0, <v>$ 被稱為純四元數。

將一個三元向量傳遞給構造函數,將產生一個純四元數：

>> Quaternion([1 2 3])
ans = 
0 < 1, 2, 3 >

其中的標量為 $0$。使用重載的乘法運算符，一個向量可以被一個四元數旋轉：

>> q*[1 0 0]'
ans =
    0.9363
    0.3130
   -0.1593