上個月寫了一篇『乘積與對偶』講了乘積和對偶的故事。這次寫一篇總結一下目前學習到的陳類。
$\blacksquare$ 以下所言拓撲空間皆指CW復形。
目錄
綜述
首先我們需要選定復射影空間$P\mathbb{C}^n$的同調群的生成元。因為$P\mathbb{C}^n$可以視作在每個偶數維只有一個胞腔，所以我們定義$H^2(P\mathbb{C}^n)$的生成元為那個胞腔對偶的上同調代表元。
所謂陳類，是對個復向量叢指定一個上同調類，具體來說，陳類是對每個拓撲空間$X$和向量叢$\xi$指定$c(\xi)\in H^{2\bullet}(X)$，記$c^i$是$\deg = 2i$的部分，滿足如下的公理
- 對於向量叢$\xi$, $c_0(\xi)=1$, $c_{>\dim \xi}(\xi)=0$.
- 對於射影空間$P\mathbb{C}^n$的重言叢$\tau$，$-c^1(\tau)$恰是我們選取的代表元。
- 如果有有連續映射$Y\stackrel{f}\to X$和$X$上的向量叢$\xi$，那么$$c(f^*(\xi)) = f^*(c(\xi)), $$其中$f^*$表示向量叢的拉回和上同調群的映射。
- 對於$X$上的兩個向量叢$\xi,\eta$, 他們的Whiteney直和$c(\xi\oplus \eta)=c(\xi)\cdot c(\eta)$.
實際上如果我們固定$H^2(P\mathbb{C}^n)$的生成元的選取，陳類的選擇唯一的，並且有
分裂原理. 任何拓撲空間$X$的向量叢$\xi$，存在某個連續映射$Y\to X$使得$\xi$的拉回分裂成一維向量叢，另一方面誘導的上同調群的映射是單射。
Whitney定理. 如果有向量叢的短正和列$$0\to V\to W\to U\to 0$$那么$c(W)=c(V)\cdot c(U)$.
以代數拓撲觀之
分類向量叢的問題在拓撲中由來已久，一個最為經典的結果是，一個拓撲空間$X$的$n$維向量叢由$X$到無窮Grassmannian $G(n)$, 即$\mathbb{C}^\infty$的$n$維子空間，的同倫類決定。
具體來說，對於向量叢$E\stackrel{\xi}{\to} X$，我們可以利用單位分拆和拓撲空間的性質，構造數個函數$E\stackrel{f_i}\to \mathbb{C}$使得每條纖維都有一些$f_i$使得讓映射是單線性映射。於是把他們加起來就得到$E\to \mathbb{C}^\infty$，使得每條纖維都是單線性映射，這被稱為Gauss映射。 於是對每個點$x\in X$都定義了$\mathbb{C}^\infty$的一個$n$維子空間，所以定義了一個到$G(n)$的映射。反之，考慮$G(n)$上有重言層，即在$V\in G(n)$處的纖維是$n$維向量空間$V$自己，任何映射都可以拉回。可以證明二者互逆。
方便起見，我們通過復合一個$G(n)$的自同倫，使得重言層的對偶的拉回是重言層，選定同構使得$$\{\textrm{同倫類}X\to G(n)\}\longrightarrow \{\textrm{$X$上的向量叢}\}\qquad f\longmapsto \textrm{$重言叢對偶$的拉回}. $$
那么根據米田引理，實際上給陳類就等價於給出$G(n)$上的上同調類$c\in H^\bullet(G(n))$。或者說具體來說，任何$X$的向量叢$\xi$對應一個映射$X\stackrel{g}\to G(n)$，那么$c$和重言層$\tau$同時拉回，根據陳類的公理，$c(\xi)=c(g^*\tau)=g^*c(\tau)$. 所以這等價於計算Grassmannian的上同調群並指定其陳類。而Whiteney直和性質則可以被解釋為映射$G(k)\times G(h)\to G(k+h)$對應的上同調映射滿足余乘法性質，即$c_k\mapsto \sum_{i=0}^k c_i\otimes c_{k-i}$.
所以構造本質上是計算無窮Grassmannian的上同調。這有很多計算方式，
- 利用Leray-Hirsch定理，用旗流形計算，因為Leray-Hirsch已經自帶乘法結構。——見[3]
- 利用Schubert的胞腔分解，直接得到一組基，再利用Schubert計算計算cup積。——見[1]
- 考慮$(P\mathbb{C}^\infty)^n\to G(n)$，證明這誘導的是單射考慮像。——見[1]
最終可以計算出$G(n)$的上同調群和$n$元對稱多項式同構，那么我們定義初等對稱多項式就是陳類。
以微分幾何觀之
陳類之所以強大，一個原因是其豐富的刻畫。首先一個哲學話題是，我們如何『看到向量叢』？大部分時候我們只能從局部出發，但是這樣和平凡從沒有區別。假設我們知道向量叢$E\to B$，如果我們『能看到』$B$，如何看到$E$？一個聰明的做法是看$B$的點變動時，$E$的點如何跟隨變動。這在拓撲中被稱為纖維變換，當道路定端同倫時，對應的纖維也同倫（同倫提升性質）。不過微分幾何中希望這樣的移動是唯一的，用微分幾何的哲學，這等於每點每個向量指定一個無窮小的移動方向（切向量）這就是聯絡。對於向量叢$E$, 一個聯絡是指$$\nabla: \Gamma(E)\to \Gamma(\Omega^1\otimes E), \qquad \nabla(fs)=d f\otimes \otimes s+f\cdot \nabla s. $$其中$\Omega^i$是$i$次微分形式叢。這可以延拓到$\Gamma(\Omega^i\otimes E)\to \Gamma(\Omega^{i+1}\otimes E)$. 於是有曲率形式$K=\nabla\circ \nabla: \Gamma(E)\to \Gamma(\Omega^1\otimes E)$, 驗證會發現這這是一個張量（Riemannian曲率張量）！所以在每點對應了一個以$\Omega^2$為系數的矩陣$\Omega$，定義陳類$$c(E)=\det(I-\frac{1}{2\pi i}\Omega)$$於是陳類變成了特征值的初等對稱函數。
剩余只需驗證陳類公理，在驗證函子性質等，還需（其實也只需要）計算$P\mathbb{C}^1$的情況，考慮切叢，利用Riemann流形的計算，這會給出我們想要的曲率。見[1]和[4]。
以代數幾何觀之
我認為Grothendieck之所以強大，是因為一個活躍在上世紀下半業的人有如此多漂亮的發現。這就是其中一個。
首先我們可以對1維向量叢定義第一陳類，這個不復雜，只需要將其嵌入$P\mathbb{C}^\infty$，考慮生成元的拉回。
對於復向量叢$E\to B$，我們考慮對應的射影叢$\mathbb{P}(E)\to B$，即把每點的纖維從$F$變成對應的射影空間$\mathbb{P}^1(F)$. 此時考慮$\mathbb{P}(E)$上的重言叢，此時$\mathbb{P}(E)$的元素是$x\in B$和一個纖維$F_x$中的直線，對應的纖維就是這條直線。假設這個叢對應的陳類是$\zeta$，那么$1,\zeta,\cdots,\zeta^{\dim E-1}$成為$H^\bullet(\mathbb{P}(E))$作為$H^\bullet(B)$的基（利用Mayer-Vietoris序列或Leray-Hirsch定理），那么應該有唯一的關系使得$$\zeta^n+c_1\zeta^{n-1}+\cdots+c_n=0$$我們定義這個系數就是陳類。驗證這個滿足陳類的公理並不困難，見[5]或[6]。
但是為何這個操作適合代數幾何？我們想要將陳類搬到周環上。代數幾何的范疇下上述兩種構造皆不可行，因為前者用了無窮維空間，后者用了微分。但是這里的構造則不再困難。我們可以先對有效的可逆層定義，然后考慮重言層，因為我們只在射影叢上用了$\mathcal{O}(1)$（這對於52讀者這是熟知的），然后問題變成證明周環的結構，見[7]。
參考文獻
[1] Milnor. Stasheff, Characteristic classes.
[2] Husemoller, Fibre.Bundles.
[3] Hatcher, Algebraic Topology.
[4] Morita, Geometry of Differential forms.
[5] Fulton. Young tableau with applications in representation theory and geometry.
[6] Hatcher, topology of fibre bundle.
[7] Fulton, Intersection theory.
后記
感覺最近忙了，就絲毫不想數學以外的事兒……例如毛語我又一次忘得一干二凈……
數學方面，學習數學又不能完全按部就班，導致學了這個就落下了這個，最近很多計划沒有完成。畢業論文的問題也毫無進展，最近還是補一點譜序列和拓撲，感覺會用。